Über die Charlier-Jordansche Entwicklung einer willkürlichen Funktion nach der Poissonschen Funktion und ihren Ableitungen. (Q2623125)

Beweise der beiden nachstehenden Entwicklungssätze, die Verf. schon 1928 in Sitzungsberichte Akad. Berlin (S. 148) angezeigt hat. Bei ihnen ist die \textit{Poissons}che Funktion durch \[ \psi _0(x) = \frac {a^x}{x!} e^{-a} \quad (x = 0,1,2,\ldots ), \] und \[ \psi _0(x) = \frac {d^n}{da^n} \psi _0(x) = \psi _0(x) \cdot p_n(x) \] gegeben, wobei \(p_n(x)\) ein leicht angebbares Polynom ist. Dann läßt sich unter geeigneten Bedingungen eine arithmetische Verteilung \(v(x)\;(x = 0,1,2,\ldots )\) nach den Funktionen \(\psi _n(x)\) entwickeln. Setzt man \[ v(x) = \sum _{n=0}^\infty a_n \psi _n(x), \tag{1} \] so liefern die Orthogonalitätsrelationen, denen die \(p_n(x)\) genügen, den Ansatz \[ a_n = \frac {a^n}{n!} \sum _{x=0}^\infty v(x) p_n(x). \tag{2} \] Die fraglichen Sätze lauten nun: I. Für \(v(x) \geqq 0\) (dem in der Wahrscheinlichkeitsrechnung allein interessierendenFalle) ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die Gültigkeit des Entwicklungssatzes (1), (2) das Bestehen der Limesbeziehung \[ 2^\nu \nu ^k v(\nu ) \rightarrow 0 \text{ für } \nu \rightarrow \infty \] für alle \(k \geqq 0\). II. Läßt man Zeichenwechsel der Funktion \(v(x)\) zu, so ist der Entwicklungssatz gültig, wenn die durch die Gleichung \[ F(z) = \sum v(\nu ) z^\nu \] gegebene analytische Funktion \(F(z)\) im Innerne der beiden Kreise \(|z| < 1, |z-1| < 1\) regulär und einschließlich der beiden Peripherien mit allen ihren Ableitungen stetig ist. (IV 4, 16.)