Zum Majorantenprinzip der Funktionentheorie. (Q2623167)

Unter dem Majorantenprinzip der Funktionentheorie versteht Verf. folgendes \(f(z)\) sei im Einheitskreis regulär (oder meromorph), \(F(z)\) außerdem da\-selbst im Kleinen schlicht (vgl. das vorangehende Referat). Dann heißt \(F(z)\) eine Majorante von \(f(z)\), wenn \(f(z)\) darstellbar ist in der Form \[ f(z)=F(\varphi (z)) \] mit \[ | \varphi (z)| \leqq 1 \quad \text{in} \quad | z| <1, \varphi (0)=0. \] Die Kenntnisse über beschränkte Funktionen kann man nun in zweierlei Weise auswerten: Entweder man gewinnt Aussagen über die Beschränkung des Wertevorrats der Klasse der durch ein festes \(F(z)\) majorisierten \(f(z)\) in einem festen Punkt \(z\) (\textit{Lindelöf}sches Prinzip), oder \(F^{-1}(f(z))\) (\(F^{-1}\): Inverse zu \(F\)) genügt einer Bedingung für beschränkte Funktionen nicht; dann kann \(f\) nicht durch \(F\) majorisiert werden, sein Wertevorrat muß\ also über die \textit{Riemann}sche Bildfläche von \(F\) hinausgreifen. Die letztgenannte Richtung des Majorantenprinzips hatte Verf. schon in der vortehend besprochenen Arbeit weitgehend ausgewertet. Hier wird nun ein zwar sehr einfacher aber fruchtbarer neuer Grundgedanke hinzu\-genommen und zur Verschärfung beider Richtungen benutzt. Betrachtet man nämlich von den beschränkten Funktionen \[ \varphi (z)=\alpha _1z+\alpha _2z^2+\cdots \] nur die engere Klasse mit vorgegebenem \(\alpha _1\),so bekommt man für ihren Wertevorrat bei festem \(z\) ein engeres Gebiet. Durch Vereinigung der Gebiete, die man für reelle \(\alpha _1\) erhält, gewinnt man eine Aussage, die auf eine \textit{nicht wesentlich engere} Klasse beschränkt ist, da die Voraussetzung durch eine triviale Transformation zu verwirklichen ist. Man erhält ein birnenförmiges Gebiet, das mit der Spitze an \(z\) heranreicht, an dessen Begrenzung jedoch ein voller Halbkreis vom Radius \(| z| ^2\) beteiligt ist. Daraus erhält man sofort eine entsprechende Verschärfung des \textit{Lindelöf}schen Prinzips. Für die andere Richtung gilt eine ähnliche Überlegung: \[ f(z)=z+a_2z^2+\cdots \] (\(a_2\) ohne Beschränkung der Allgemeinheit reell positiv) kann durch \(\varrho F(z)\) mit \[ F(z)=z+A_2z^2+\cdots \] nicht nur erst bei \(\varrho \geqq 1\) majorisiert werden (vgl. das vorstehende Referat), sondern erst bei \(\varrho \geqq P(A_2)\), wo \(P(A_2)>1\) außer bei \(A_2>0\), und im übrigen leicht zu bestimmen ist. Auch für die dem Nullpunkt nächstgelegene Nullstelle einer beschränkten Funktion \(\varphi (z)\) mit \(\varphi (0)=0\) wird eine entsprechende Verschärfung der \textit{Jensen}schen Abschätzung gewonnen. Im einzelnen wird insbesondere die zweite Richtung des Prinzips durch Heranzie\-hung zahlreicher Vergleichsfunktionen ausgewertet, wobei sich jeweils Verschärfun\-gen der Sätze aus der vorstehend besprochenen Arbeit ergeben.