Zwei Bemerkungen zur konformen Abbildung. (Q2623255)

Verf. leitet aus Sätzen seiner Dissertation (vgl. das Zital im vorstehenden Referat) sehr interessante Resultate ab. Es gelingt ihm die genaue Bestimmung der Sternschranke, d. h. des Radius des größten Kreises \(R_s\), der durch jede im Einheitskreise reguläre und schlichte normierte Funktion \(f(z)\) (mit der Normierung \(f(0)=0, f'(0)=1\)) sternförming abgebildet wird, zu \(R_s=\text{tgh}\dfrac {\pi }{4}=0,65579\dots \);(bisher waren nur Abschätzungen für \(R_s\) gefunden worden, die beste von \textit{A. Marx} (Untersuchungen über schlichte Abbildungen, Math. Ann. 107 (1932), 40-67; F. d. M. 58): \(0,6479\dots <R_s<0,6568\dots \)). Da sich überdies die Exstremalfunktionen nach den Überlegungen des Verf. explicite angeben lassen, ist das ``Problem der Sternschranke'' hiermit völlig gelöst. Ferner gewinnt Verf. den folgenden Satz, der eine neue bemerkenswerte Verallgemeinerung des ersten \textit{Bierbach}schen Flächensatzes darstellt: Wird der Einheitskreis durch \[ \omega =f(z)=z+\cdots \] abgebildet, und bezeichnet \(\mathfrak B''\) die ``Projektion des Bildbereiches'', d. h. den schlich\-ten Bereich der \(\omega \)-Ebene, der aus allen Bildpunkten (ohne Rücksicht auf die Viel\-fachheit der Bedeckung) besteht, so ist (1) der Flächeninhalt von \(\mathfrak B''\) mindestens gleich \(\pi \), und (2) gilt \[ L(\mathfrak B'')\geqq 0 \quad \text{mit} \quad L(\mathfrak B'')=\frac {1}{2\pi } \int \log rd\varphi, \] wobei \(r,\varphi \) Polarkoordinaten der \(\omega \)-Ebene bedeuten, das Integral über den Rand von \(\mathfrak B''\) zu nehmen und dieser so zu durhlaufen ist, daß\ der Bereich zur Linken liegt. Existiert das Integral nicht, so ist \(L(\mathfrak B'')\) sinngemäß\ als Grenzwert einer Folge entsprechender Integrale zu erklären, die über die Ränder von Bereichen zu erstrecken sind, die \(\mathfrak B''\) von innen her ausschöpfen. Das Gleichheitszeichen steht in beiden Fällen nur für \(f(z)=z\). Wesentlich ist, daß\^^MSchlichtheit von \(f(z)\) nicht vorausgesetzt wird.