Asymptotische Entwicklungen der Jakobischen Polynome. (Q2623279)

Verf. dehnt die Methoden der vorstehend besprochenen Arbeit auf die \textit{Jakobi}schen Polynome aus. Er gewinnt für die sogenannten ultrasphärischen Polynome eine asymptotische Entwicklung, in der \textit{Bessel}sche Funktionen auftreten, nämlich \[ P_n^{(\mu )}(\cos \vartheta )=\sum \limits _{m=0}^{\infty } f_m(\vartheta )\vartheta ^{m-\mu +\tfrac 12} \frac {J_{\mu -m-\tfrac 12}[(n+\mu )\vartheta ]}{(n+m)^{m-\mu +\tfrac 12}}. \] Die \(f_n(\vartheta )\) sind aus elementaren Funktionen zusammengesetzt. Eine entsprechende Entwichlung wird für die \(P_n^{(\alpha,\beta )}(\cos \vartheta )\) abgeleitet; als Koeffizienten der Potenzreihe treten gewisse lineare Verbindungen aus \textit{Bessel}schen Funktionen auf. In beiden Fällen wird der Fehler abgeschätzt, der durch Abbrechen der Reihe entsteht. Der Beweis gründet sich auf eine bekannte Darstellung der Polynome durch ein komplexes Integral, das in geeigneter Weise umgeformt wird. Als Anwendung werden Formeln für \[ \lim \limits _{n\to \infty }\sqrt nM_n,\quad M_n=\underset {-1\leqq x\leqq +1} {\text{Max}} (1-x)^{\lambda }(1+x)^{\mu }| P_n^{(\alpha,\beta )}(x)|, \] sowie für \[ \lim \limits _{n\to \infty }\left [ \sqrt n\int \limits _{0}^{1} (1-x)^{\lambda }(1+x)^{\mu }| P_n^{(\alpha,\beta )}(x)| dx\right ] \] gegeben. -Weiter wird die Konvergenz der formalen Entwicklung \[ f(x)-\sum \limits _{i=0}^{\infty }a_iP_i^{\alpha,\beta }(x) \] im Innern von \({<}-1,+1{>}\) untersucht und mit der Konvergenz einer gewissen \textit{Fourier}reihe verglichen. Der vierte Abschnitt der Arbeit behandelt mechanische Quadratur auf \textit{Jakobi}schen Abszissen. Verf. betrachtet die zu einer beliebigen reellen Funktion \(f(x)\) gehö\-renden Quadraturwerte \[ Q_n[f]=\int \limits _{-1}^{+1}\sum \limits _{\nu =1}^{n}f(x_{\nu }) \frac {P_n^{(\alpha,\beta )}(\xi )} {P_n^{'(\alpha,\beta )}(x_{\nu })(\xi -x_{\nu })}d\xi \] (die \(x_{\nu }\) sind die Nullstellen von \(P_n^{(\alpha,\beta )}(x)\)); er diskutiert das Vorzeichen der sogenannten\textit{Cotess}chen Zahlen \[ \frac {1}{P_n^{'(\alpha,\beta )}(x)}\int \limits _{-1}^{+1} \frac {P_n^{'(\alpha,\beta )}(\xi )}{\xi -x_{\nu }}d\xi \] sowie die Konvergenz der \(Q_n[f]\) gegen \(\int \limits _{-1}^{+1}f(x)dx\). Im Anhang wird angedeutet, wie sich die zu der asymptotischen Entwicklung führenden Gedankengänge auf die den \(P_n^{(\alpha,\beta )}(x)\) zugeordneten Funktionen übertragen lassen.