An approximation connected with \(e^{-x}\). (Q2623297)

\textit{Ramanujan} hat vermutet, daß\ die durch die Gleichung \[ 1+\frac {n}{1!}+\frac {n^2}{2!}+\cdots +\frac {n^{n-1}}{(n-1)!} +\frac {n^n}{n!}\theta _n=\frac 12e^n \tag{1} \] erklärte Zahl \(\theta _n\) zwischen \(\dfrac 12\) und \(\dfrac 13\) liegt und für hinreichend große \(n\) asymptotisch durch die Formel \[ \theta _n\sim \frac 13+\frac {4}{135n}-\frac {8}{2835n^2}-\cdots \tag{2} \] dargestellt wird. Diese Vermutung ist von \textit{Szegö, G.} (1928; F. d. M. 54, 231 (JFM 54.0231.*)) und \textit{G. N. Watson} (1928; F. d. M. 54, 230 (JFM 54.0230.*)) bewiesen worden. \textit{A. C. Aitken} hat nun den Ansatz \[ 1-\frac {n}{1!}+\frac {n^2}{2!}-\cdots _(-1)^{n-1}\frac {n^{n-1}}{(n-1)!} +(-1)^n\frac {n^n}{n!}\varphi _n=e^{-n} \tag{3} \] gemacht und \(\varphi _n\) für die Werte \(n=0,1,2,8,9,10,11,12,100\) berechnet. Aus dem Zahlenmaterial hat Verf. folgende Eigenschaften von \(\varphi _n\) abgelesen, die er hier mitteilt und beweist: \[ \lim \limits _{n\to \infty }\varphi _n=\frac 12 \tag{4} \] (5) \(\varphi _n\) nimmt monoton von 1 bis \(\dfrac 12\) ab, wenn \(n\) die ganzen Zahlen von 0 an wachsend durchläuft. (6) Für \(\varphi _n\) gilt die asymptotische Entwicklung \[ \varphi _n \sim \frac {1}{2}+\frac {1}{8n}+\frac {1}{32n^2} -\frac {1}{128n^3}-\frac {13}{256n^4}-\cdots, \] bei deren Beweis Verf. sich eines Satzes von \textit{Watson} (Treatise on Bessel functions (1922; F. d. M. 48, 412 (JFM 48.0412.*)-415), p. 236) bedient.