Sur la courbure totale des surfaces ouvertes. (Q2623390)

Es handelt sich um offene singularitätenfreie Flächen mit \textit{Riemann}scher Differentialgeometrie, die das ``Vollständigkeitspostulat'' erfüllen: Jede im Sinne der \textit{Riemann}schen Metrik beschränkte Punktmenge ist kompakt. Eine solche Fläche \(S\) kann eine endliche \textit{Euler}sche Charakteristik \(\chi (S)\) besitzen - z. B. ist \(\chi (S)=1\), wenn \(S\) der Ebene, \(\chi (S)=0\), wenn \(S\) dem Kreiszylinder homöomorph ist -, und es kann auch die Curvatura integra (Integral der \textit{Gauß}schen Krümmung) existieren. Wenn beide Zahlen existieren, so gilt in Analogie zu einer bekannten, für geschlossene Flächen gültigen Gleichung die Ungleichung (Satz I a): \[ C(S)\leqq 2\pi \chi (S). \] Daraus folgt leicht der Satz II, der ein neuer und wichtiger Beitrag zur Feststellung der Zusammenhänge zwischen Topologie und Differentialgeometrie ist: Die einzigen offenen Flächen, die fähig sind, eine vollständige Differentialgeometrie mit Überall positiver Krümmung zu tragen, sind die vom topologischen Typus der Ebene. Der Satz I a sowie ein etwas allgemeinerer Satz I ergeben sich mittels der \textit{Gauß}-\textit{Bonnet}schen Formel leicht aus dem Satz III: Im Außengebiet \(H\) eines Kreises \(C\) der cartesischen Ebene \(P\) sei eine \textit{Riemann}sche Geometrie gegeben, die ``vollständig'' in dem Sinne ist, daß jede in \(P\) divergente Menge unbeschränkt ist. Dann gibt es zu jedem \(\varepsilon > 0\) in \(H\) ein zu \(C\) homologes einfach geschlossenes geodätisches \(n\)-Eck, dessen Winkelsumme \(<n\pi +\varepsilon \) ist; (die ``Winkel'' sind die Innenwinkel im Sinne der Topologie der Ebene \(P\)). Dieser Satz wird ohne Beweis mitgeteilt. (V 2.)