Wackelige Kurvennetze bei einer infinitesimalen Flächenverbiegung. (Q2623394)

Verf. betrachtet auf einer gegebenen regulären Fläche liegende Paare von Kurvenscharen, deren Querregelflächen bei einer infinitesimalen Verbiegung \[ \mathfrak x^\ast =\mathfrak x+\varepsilon \bar {\mathfrak x} \] der Fläche ihre Schränkung in der Ordnung \(\varepsilon \) nicht ändern. Die Querregelflächen entstehen, wenn man längs einer Kurve der einen der beiden Scharen die Tangenten der sämtlichen Kurven der andern Schar ins Auge faßt. Die Schränkung ist das Reziproke des Dralls. Diese wackeligen Kurvennetze werden in genauer Analogie zu gewissen Polygonnetzen (Fachwerken) untersucht, die aus zwei diskreten Scharen von ein Schachbrettmuster bildenden Streckenzügen bestehen. Bei den Polygonnetzen handelt es sich dann um allgemeine und spezielle infinitesimale Verknickungen; die letzteren sind da durch bestimmt, daß die Vierecke des Polygonnetzes in der Ordnung \(\varepsilon \) starr sind. Ebenso handelt es sich bei den Kurvennetzen um allgemeine und spezielle infinitesimale Verbiegungen; die letzteren sind dadurch bestimmt, daß die Schränkung der Querregelflächen in der Ordnung \(\varepsilon \) ungeändert bleibt. Es werden dann die reziproken Polygonnetze und die reziproken Kurvennetze eingeführt und die Sätze bewiesen, daß ein Polygonnetz (Kurvennetz) dann und nur dann wackelig ist, wenn ein zu ihm reziprokes Polygonnetz (Kurvennetz) existiert, und daß jedes zu einem wackeligen Polygonnetz (Kurvennetz) reziproke Polygonnetz (Kurvennetz) gleichfalls wackelig ist. Schließlich wird die Existenz wackeliger Polygon- und Kurvennetze gezeigt. Polygonnetzen mit ebenen Vierecken oder Vierkanten ent sprechen dabei Kurvennetze mit konjugierten Scharen bzw. mit Asymptotenlinien. Die wackeligen Kurvennetze sind deshalb bemerkenswert, weil sie gegenüber projektiven Transformationen invariant sind, wie Verf. dann noch nachweist. Dieser Invarianz entspricht bei den Polygonnetzen der \textit{Liebmann}sche Satz von der projektiven Invarianz gewisser Ausnahmefächwerke. Zum Schlusse wird als Anwendung der vorher entwickelten Theorie gezeigt, wie man allein durch Quadraturen aus der infinitesimalen Verbiegung einer Fläche infinitesimale Verbiegungen der zu ihr projektiven Flächen herleiten kann.