La lunghezza proiettiva di un arco di curva piana. (Q2623476)

Verf. stellt sich die Aufgabe, eine direkte geometrische Konstruktion für die ``projektive Bogenlänge'' einer ebenen Kurve zu geben. Dieser Begriff ergibt sich zuerst unter einem rein analytischen Gesichtspunkt; die Analogie mit der ``Bogenlänge'' der metrischen Geometrie scheint nur formal zu sein. Eine geometrische Interpretation hatte \textit{Wilczynski} dafür gegeben, eine andere, einfachere und einleuchtendere, \textit{E. Bompiani} (Rendiconti Accad. d. L. Roma (6) 3 (1926), 118-123; F. d. M. 52) unter Zuhilfenahme der Theorie der Berührungsinvarianten. Verf. will auf direktere, der geometrischen Anschauung zugängliche Weise eine Definition der projektiven Bogenlänge geben, in der sich, soweit es die Natur der Sache zuläßt, und mit den Änderungen, die die andersartige Beschaffenheit der zugrundegelegten Gruppe erfordert, die wesentlichen Eigenschaften der ``Länge'' aus der metrischen Geometrie wieder finden. Verf. erlegt der projektiven Länge folgende Bedingungen auf: (1) Auf den ebenen Kurven, die eine kontinuierliche einparametrige Gruppe von Homographien in sich zulassen (``esponenziali proiettive''), soll der Abstand zweier Punkte \(A, B\) invariant sein gegenüber allen Transformationen dieser Gruppe, und wenn \(A, B, C\) drei Punkte auf einer solchen Kurve sind, so soll gelten: \[ \text{dist }AB +\text{dist }BC = \text{dist }AC \] (2) Wie in der metrischen Geometrie der Abstand zweier Punkte eine Invariante des Punktepaares ist, und wie man in der äquiaffinen Geometrie, da es äquiaffine Invarianten eines Punktepaares nicht gibt, als äquiaffinen Abstand zweier Punkte auf einer Parabel, oder zweier unendlich benachbarter Punkte auf einer beliebigen Kurve, eine Invariante (im wesentlichen die einzige Invariante) der von jenem Punkte ausgehenden Elemente erster Ordnung der zugrunde gelegten Kurve einführt, so ist es in der projektiven Geometrie der Ebene, in der auch zwei Elemente erster Ordnung keine Invariante haben, naturgemäß, als projektive Entfernung zweier Punkte auf einer ``esponenziale proiettiva'' oder als Abstand zweier unendlich benachbarter Punkte auf einer beliebigen Kurve eine Invariante- und im wesentlichen die einzige- des Paares von Elementen zweiter Ordnung, welche von jenen Punkten der vorausgesetzten Kurve ausgehen, anzunehmen. Die einfachste unter diesen Invarianten ist das Doppelverhältnis von vier Kegelschnitten desselben Büschels, die die beiden Elemente im ersten Punkte, \(A\), oskulieren und im zweiten, \(B\), berühren, oder umgekehrt, und die in das Paar der Tangenten in \(A\) und \(B\) an die beiden Elemente oder in die doppelt zählende Verbindungsgerade \(AB\) entarten. Eine geeignete Funktion dieses Doppelverhältnisses, die der Bedingung (1) genügt, bietet sich als projektive Lange dar, und so ergibt sich in der Tat der schon bekannte, von früheren Autoren auf verschiedene Weise hergeleitete Ausdruck für das projektive Bogenelement. (V 5 A.)