Sur les corps convexes. (Q2623530)

Im Teil I wird ein Beweis gebracht für die Existenz einer Stützebene in jedem Punkt eines konvexen Körpers. Es werden zunächst konvexe Richtungsmengen betrachtet, d. h. Mengen von einem Punkt \(S\) ausgehender Richtungen, die mit zwei nicht entgegengesetzten Richtungen alle Richtungen des von ihnen gebildeten Winkels \((<\pi )\) enthalten. Eine solche Menge füllt entweder den ganzen \(n\)-dimensionalen Raum aus oder ist in einem Halbraum enthalten. Enthalt der Schnitt einer durch \(S\) gehenden \(p\)-dimensionalen (aber nicht \((p+1)\)-dimensionalen) Hyperebene mit der konvexen Richtnngsmenge \(M\) alle Richtungen in dieser Hyperebene, dann heißt \(M\) von \((n-p)\)-ter Klasse. Die Existenz von Grenzstützebenen, d. h. von Stützebenen, welche eine Randrichtung von \(M\) enthalten, wird nachgewiesen. Jeder Randpunkt \(P\) eines konvexen Körpers \(C\) wird der Menge \(M\) der Richtungen zugeordnet, die von \(P\) nach einem Punkt von \(C\) gehen. \(P\) gehört als Randpunkt von \(C\) derselben Klasse an, wie die abgeschlossene Menge von \(M\). Randrichtungen von \(M\) sind Halbtangenten in \(P\) an \(C\). Als hinreichende und notwendige Bedingung für eine Tangentialebene \(E\) von \(C\) ergibt sich: Für jede zu \(E\) in genügend kleinem Abstand \(d\) parallele Hyperebene, welche \(C\) m einer \((n-1)\)-dimensionalen konvexen Figur schneidet, der sich eine Hyperkugel mit dem Radius \(r(d)\) einbeschreiben läßt, gilt: \(\lim \limits _{d\rightarrow 0}\frac {r(d)}d=\infty \). Dieser Satz wird dann im Teil III der Arbeit verwendet. Der Teil II bringt Verschärfungen der \textit{Minkowski}schen Ungleichungen zwischen den gemischten Volumina von \(m\) konvexen Körpern (und ihren Projektionen) und Folgerungen, wenn Gleichungen an Stelle der Ungleichungen treten. Nach einem kurzen Überblick über die Tragweite der bisher angewendeten Methoden wird vor allem der Fall des dreidimensionalen Raumes für \(m=2\) und \(m=3\) behandelt. So gilt bei drei Basiskörpern \(C_1, C_2, C_3\) \[ V^2_{112} = V_{111}\cdot V_{122} \leqno (*) \] dann und nur dann, wenn \(\frac {V_{113}}{V_{123}}\) eine vom Körper \(C_3\) unabhängige Konstante ist. Daraus folgt dann. daß \(\frac {dS_{11}}{dS_{12}}\) für jede Richtung konstant ist, wobei \(dS_{11}\) und \(dS_{22}\) parallele Oberflächenelemente von \(C_1\) und \(C_2\) sind und \(dS_{12}\) der gemischte Flächeninhalt von \(dS_{11}\) und \(dS_{22}\) ist. Wenn an Stelle der verschärften Ungleichungen Gleichungen treten, folgt daraus nur, daß es einen aus \(C_2\) durch Streckung in einer bestimmten Richtung hervorgegangenen konvexen Körper \({C'}_2\) gibt. für den ist: \[ V^2_{112'} = V_{111}\cdot V_{12'2'}. \] Entsprechend ergibt sich als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \[ V^2_{123} = V_{113}\cdot V_{223} \] ist, daß \(\frac {dS_{13}}{dS_{23}}\) konstant ist. Im \(n\)-dimensionalen Raum hat bei zwei Basiskörpem \(C_1\) und \(C_2\) die Gleichung \[ V^n_{11\cdots 2} = V^{n-1}_{11\cdots 1}\cdot V_{22\cdots 2} \] zur Folge, daß \(C_1\) und \(C_2\) homothetisch sind. Aus den Ungleichungen ergibt sich hier, daß die \((n-1)\)-te Wurzel aus der Oberfläche von \((1-t)C_1+tC_2\) eine (nach unten) konkave oder lineare Funktion von \(t\) ist. Ungleichungen für den Fall des vierdimensionalen Raumes und für den Fall, daß einer der Basiskörper die Einheitskugel ist, beschließen den Teil II. Im Teil III werden zunächst Tangentialkörper (corps tangentiels) behandelt. \(C_1\) heißt Tangentialkörper erster Ordnung von \(C_2\) wenn jede Tangentialebene von \(C_1\) zugleich Stützebene von \(C_2\) ist; der Ordnung \(p\), wenn in allen Punkten der Klassen 1 bis \(p\) von \(C_1\) die Stützebenen von \(C_1\) auch Stützebenen von \(C_2\) sind. \(C_2\) sei jetzt ein konvexer Körper, der durch Translation ins Innere von \(C_1\) gebracht werden kann. Wird dann \(V_{\underbrace {11\cdots 1}_{n-p}\underbrace {22\cdots 2}_{p}}\) mit \(W_p\) bezeichnet, so ist die notwendige und hinreichende Bedingung für \[ W_0 = W_1 = \cdots = W_{p-1} = W_p, \] daß \(C_1\) ein Tangentialkörper \(p\)-ter Ordnung von \(C_2\) ist. Für \(p=n-1\) ist \(C_1\) ein Kappenkörper von \(C_2\). Es erscheint damach wahrscheinlich, daß für zwei beliebige konvexe Körper aus \[ \frac {W_0}{W_1} = \frac {W_1}{W_2} = \cdots \frac {W_{p-2}}{W_{p-1}} = \frac {W_{p-1}}{W_p} \] folgt, daß der eine Körper homothetisch ist zu einem Tangentialkörper des andern, eine Verallgemeinerung des \textit{Minkowski}schen Satzes, daß aus (*) folgt, daß \(C_1\) homothetisch ist zu einem Kappenkörper von \(C_2\). Für den Fall, daß \(C_1\) und \(C_2\) Polyeder sind oder \(C_2\) eine ebene Scheibe ist, wird dieser Satz bewiesen.