Bestimmung einer geschlossenen konvexen Fläche durch die Summe ihrer Hauptkrümmungsradien. (Q2623531)

Der Satz von \textit{Christoffel}, daß eine Eifläche durch die Summe ihrer Hauptkrümmungsradien bestimmt ist, wird bewiesen nur unter der Voraussetzung, daß \(s(\xi )\) (die Summe der Hauptkrümmungsradien) eine abteilungsweise stetige, überall positive Funktion des Einheitsvektors der Flächennormalen \(\xi \) und \[ \int \xi s(\xi )do = 0 \] ist (integriert über die Einheitskugel). Zunächst wird gezeigt, daß die Menge der Stützfunktionen \(q\) von Eiflächen, deren Schwerpunkt im Ursprung liegt, deren Oberfläche \(\geqq 1\) und für die \[ \int qs(\xi )do \leqq e\int s(\xi )do \] ist (wobei \(e\) der Radius der Kugel mit der Oberfläche 1 ist), ein eindeutig bestimmtes Minimum \(q_0\) besitzt, dessen zugehörige Eifläche die Oberfläche 1 hat. Ist dann \(s(\xi )\) die vorgegebene Summe der Hauptkrümmungsradien, so gilt für die Stützfunktion; \(p\) der zugehörigen Eifläche: \[ p=\frac {q_0}6\int q_0s(\xi )do. \]