Et Maksimumsproblem vedrørende orbiformer. (Q2623533)

Es sei \(B\) die Breite einer Orbiform \(\overline O\), die Randkurve \(O\), Umkreis \(\varGamma \) mit Radius \(P\), Innenkreis \(\gamma \) mit Radius \(\varrho \). Der Kreisring \((\varGamma, \gamma )\) ist ein Minimalring, der kleinste konzentrische Kreisring, worin \(O\) verlaufen kann. Das Verhältnis \(\frac {\varrho }{P}\) muß der Relation \[ \frac 12 \leqq \frac P{P+\varrho } \leqq \sqrt {\frac 13} \leqno (1) \] genügen; die Grenzfälle sind: \(P=\varrho \) (die Orbiform ist ein Kreis) und \(P=B\sqrt {\frac 13}\) (das \textit{Reulaux}dreieck). Es wird nun das Maximalproblem gelöst: Dem gegebenen Kreisring \((\varGamma, \gamma )\), wo (1) erfüllt ist, die größte Orbiform einzuschreiben. Die Lösung ist: \(O\) hat drei Symmetrieachsen \(MP, MQ, MR\), wo \(M\) Zentrum des Ringes ist; \(PQR\) ist ein in \(\varGamma \) eingeschriebenes gleichseitiges Dreieck. \(O\) ist aus drei Kreisbögen vom Radius \(P+\varrho \) und sechs Kreisbögen vom Radius \(\frac {P+\varrho }2\) zusammengesetzt. Ein Kreis um \(P\), Radius \(P+\varrho \) berührt \(\gamma \) in \(p\). Ein Kreis über \(PQ\) als Sehne mit Radius \(\frac {P+\varrho }2\) nach derselben Seite von \(PQ\) wie \(R\) wird den ersten Bogen in \(t\) berühren. Der Bogen \(pt\) des ersten Kreises und \(tQ\) des zweiten Kreises bilden zusammen ein Sechstel der Orbiform. Der erste schwierigere Teil des Beweises, daß die Kurve drei Symmetrieachsen besitzt, wird durch eine ähnliche Ringsymmetrisierung gemacht, wie sie Verf. früher für das isoperimetrische Problem gebraucht hat (vgl. das in F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 431-432 besprochene Buch des Verf: Les problèmes des isopérimètres et des isépiphanes, p. 45). Auch dieses Problem ist isoperimetrisch, weil alle Orbiformen mit der Breite \(B =P+\varrho \) dieselbe Länge \(\varPi B\) haben. Der letzte Teil des Beweises folgt unschwer aus der isoperimetrischen Eigenschaft des Kreises. (Vgl. \textit{T. Bonnesen}, \textit{W, Fenchel}; Theorie der konvexen Körper. Ergebnisse d. Math. 2, Nr. 1 (1934). p. 135; F. d. M. 60.) (IV 15.)