Über eine kennzeichnende Eigenschaft der Linearkombinationen von Vektoren und ihre Anwendung. (Q2623544)

Unter einem Vektor \(\mathfrak x\) des \(n\)-dimensionalen Raumes \(R_n\) versteht Verf. ein System von \(n\) Zahlen \((x_1, x_2,\ldots, x_n)\). Der Vektor heißt reell bzw. komplex, je nachdem die \(x_\nu \;(r = 1, 2,\ldots, n)\) sämtlich reell oder komplex sind. Demgemäß heißt auch \(R_n\) reell oder komplex, je nachdem \(R_n\) aus allen reellen oder aus allen komplexen Vektoren besteht. Wenn jedem System von \(m\) Vektoren \(\mathfrak {x}_1, \mathfrak {x}_2, \ldots, \mathfrak {x}_m\) des \(R_n\) eindeutig ein Vektor \(\mathfrak {y}\) des \(R_n\) zugeordnet ist, so nennt Verf. \(\mathfrak {y}\) eine Vektorfunktion und schreibt \[ \mathfrak y = [\mathfrak {x}_1, \mathfrak {x}_2, \ldots, \mathfrak {x}_m]. \leqno (1)\^^M \] Was für eine solche Vektorfunktion Stetigkeit bedeutet, ist ohne weiteres ersichtlich. Verf. beweist nun den folgenden Satz: Es sei (1) eine stetige Vektorfunktion, die für jede lineare Transformation \(A\mathfrak x\) des \(R_n\) auf sich \((n \geqq 2, m \gtreqqless n)\) der Relation \[ [A\mathfrak {x}_1, A\mathfrak {x}_2, \ldots, A\mathfrak {x}_m] = A[\mathfrak {x}_1, \mathfrak {x}_2, \ldots, \mathfrak {x}_m] \leqno (2) \] genügt; dann ist \([\mathfrak {x}_1, \mathfrak {x}_2, \ldots, \mathfrak {x}_m]\) von \(\mathfrak {x}_1, \mathfrak {x}_2, \ldots, \mathfrak {x}_m\) linear abhängig: \[ [\mathfrak {x}_1, \mathfrak {x}_2, \ldots, \mathfrak {x}_m] = \lambda _1\mathfrak {x}_1 + \lambda _2\mathfrak {x}_2 + \cdots, +\lambda _m\mathfrak {x}_m, \leqno (3) \] und es sind die Zahlen \(\lambda _1, \lambda _2, \ldots, \lambda _m\) sämtlich reell oder komplex, je nachdem \(R_n\) reell oder komplex ist. Anwendung auf eine gewisse eineindeutige stetige Transformation \(T\) von \(R_n\) auf sich. (III 2.)