Zum Tensorkalkül in Vektorräumen Riemannscher Mannigfaltigkeiten. (Q2623561)

Gelegentlich der Behandlung der Schmiegvektorräume einer \(l\)-dimensionalen \textit{Riemann}schen Mannigfaltigkeit \(F_l\) hat \textit{Enea Bortolotti} eine Darstellung der verallgemeinerten \textit{Vitali}schen absoluten Differentialkalküls gegeben, innerhalb dessen die zur Aufspannung der Vektorräume verwendeten Vektoren überzählig, also z. T. linear abhängig, in Verwendung treten. Noch allgemeiner entwickelt Verf. in vorliegender Arbeit einen Tensorkalkül für Tensoren, die in irgendeinem längs einer \(F_l\) des \(R_N\) (\textit{Riemann}seher, insbesondere euklidischer Einbettungsraum von \(N\) Dimensionen) definierten Vektorraum \(V_{(n)}\), der von mehr als \(n\) Vektoren aufgespannt gedacht wird, gegeben sind. Die algebraische Seite dieses Kalküls läuft im wesentlichen auf eine ko- bzw. kontravariante Beindarstellung eines jeden Tensors der \(V_{(n)}\) hinaus. Dabei zeigt sich: Das (ko- bzw. kontravariante) System der Beinkomponenten der Summe bzw. des Produktes von Tensoren der \(V_{(n)}\) ist die Summe bzw. das Produkt der Systeme der Beinkomponenten dieser Tensoren. Das System der Beinkomponenten eines verjüngten Tensors der \(V_{(n)}\) ist das System der verjüngten Beinkomponenten dieses Tensors. Die gesamten Operationen der Tensoralgebra für Tensoren des \(V_{(n)}\) können im Bereich der Beinkomponenten dieser Tensoren ausgeführt werden. Die analytische Seite dieses Kalküls geht von der Definition des \(V_{(n)}\)-Differentials \(\vartheta \xi ^i\) eines Vektors \[ \xi _i = \xi ^\alpha \lambda _{i|\alpha } \] (in Beindarstellung) aus, worunter die Projektion des absoluten Differentials \(\vartheta \xi ^i\) des Vektors in den \(V_{(n)}\) zu verstehen ist. Daran schließt sich die Definition des ``erweiterten \(V_{(n)}\)-Differentials'': \(DT_{\alpha \beta }, DT^{\alpha \beta },\ldots \). Sind dann z. B. \(T_{\alpha \beta }\) und \(T^{\alpha \beta }\) die ko- bzw. kontravarianten Beinkomponenten eines Tensors \(T^{ik}\) des \(V_{(n)}\), so sind \(DT_{\alpha \beta }\) und \(DT^{\alpha \beta }\) die entsprechenden Beinkomponenten des \(V_{(n)}\)-Differentials von \(T^{ik}\). Der gesamte Kalkül läßt sich in Beinkomponenten durchführen. Als Anwendung behandelt Verf. eine ``integrable'' Parallelverschiebung in \(V_{(n)}\). (V 6 C.)