Ergänzende Bemerkung zum Weierstraßschen Vorbereitungssatz und bedingt-periodische Bewegungen. (Q2623603)

Verf. untersucht die Frage, wann ein kanonisches System \[ \dot {p_h} = -\frac {\partial H}{\partial q_h},\;\dot {q_h} = -\frac {\partial H}{\partial p_h} \qquad (h=1,\ldots,n) \leqno (1) \] bedingt periodische Integrale \[ p_h=p_h(I_1,\ldots,I_n; \;w_1,\ldots,w_n),\;q_h=q_h(I_1,\ldots,I_n; \;w_1,\ldots,w_n) \leqno (2) \] zuläßt, wobei die Wirkungsvariablen \(I_\nu \) konstant, \(w_\nu = \omega _\nu t+\beta _\nu \) linear in \(t\) und die \(p_h, q_h\) in allen \(w_\nu \) mit der Periode \(2\pi \) periodisch sein sollen. Durch Elimination der \(w_\nu \) aus (2) gelangt man zu \(n\) Relationen \[ \varOmega _\varkappa (p_h, q_h; I_\nu ) = 0, \] von denen der \textit{Weierstraß}sehe Vorbereitungssatz die Eindeutigkeit, Analytizität und Regularität erschließt; aus dem gleichen Satz folgt, daß die Auflösung der \(\varOmega _\varkappa \) nach den \(I_\nu \) im Kleinen endlich-vieldeutig ist, d. h. daß (1) gerade \(n\) endlich vieldeutige Integrale der Form \[ u_\varkappa (p_h, q_h) = I_\varkappa \qquad (\varkappa = 1,\ldots,n) \] besitzen muß. Vermittelt (2) eine kanonische Transformation der \(p_h, q_h\) in die \(I_\nu, w_\nu \) so fällt man also auf die \textit{Liouville}schen Systeme zurück.