Sur un problème de M. Ruziewicz concentrant l'hypothèse du continu. (Q2624266)

Es bezeichne \(I\) das Intervall \([0,1]\) und \(X\) die Menge aller Zahlen. \textit{Braun} und \textit{Sierpiński} (Sur quelques propositions équiavalentes à l'hypothèse du continu, Fundamenta 19 (1932), 1-7; F. d. M. 58) hatten bewiesen, daß folgende Aussage mit der Kontinuumhypothese gleichwertig ist: Es existiert ein System von Mengen \(A_x^i\) wobei \(i\) eine natürliche Zahl und \(x\) eine reelle Zahl ist, derart daß \[ \begin{gathered} I=\sum _{x\in X}A_x^i \quad \text{für}\quad i=1,2,3,\dots,\tag{1}\\ A_x^iA_y^i =0\quad \text{für}\quad x\neq y,\quad i=1,2,3,\dots,\tag{2}\\ \text{für jede unendliche Folge \(x_1,x_2,x_3,\dots \) reeller Zahlen die Menge}\tag{3}\\ I-(A_{x_1}^1+A_{x_2}^2+A_{x_3}^3+\dots )\end{gathered} \] höchstens abzählbar ist. Verf. beweist nun, in Beantwortung einer von \textit{Ruziewicz} gestellten Frage, daß man hierin die Bedingung \((3)\) duch die folgende Bedingung \((3^*)\) ersetzen kann: \((3^*)\) Für jede unendliche, wachsende Folge \(m_1,m_2,m_3,\dots \) natürlicher Zahlen und für jede unendliche Folge \(x_1,x_2,x_3,\dots \) reeler Zahlen ist die Menge \[ I-(A_{x_1}^{m_1}+A_{x_2}^{m_2}+A_{x_3}^{m_3}+\dots ) \] höchstens abzählbar. Hieraus folgt noch: Unter Voraussetzung der Kontinuumhypothese existiert eine unendliche Folge eindeutiger, in \(I\) definiert Funktionen \(f_n (x)\;(n=1,2,3,\dots )\), derart daß jede nicht-abzählbare Teilmenge aus \(I\) durch fast alle diese Funktionen in die Menge aller reellen Zahlen transformiert wird. - (Dies ist eine Verschärfung eines Resultats von \textit{Braun} und \textit{Sierpiński}, a. a. O., Satz (\(R\)); damals hieß es statt ``fast alle'' nur ``eine''.) Einen direkten Beweis dieses Satzes gab übrigens Verf. später (1933; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 94). Aus dem letzten Resultat ergibt sich weiter eine Lösung eines Problems vom \textit{Saks}, daß übrigens Verf. (Remarque sur suites infinies de fonctions, Fundamenta 18 (1932), 110-113; F. d. M. 58) schon auf andere Weise erledigt hatte, nämlich der \textit{Satz} : Unter der Voraussetzung der Kontinuumhypothese existiert eine unendliche Folge von in \(I\) definierten Funktionen \(f_n (x)\;(n=1,2,3,\dots )\), die nur die beiden Werte 0 und 1 annehmen, derart, daß jede unendliche Teilfolge dieser Funktionen in jedem Punkt von \(I\) divergiert, abgesehen vielleicht von den Punkten einer höchstens abzählbaren Menge.