Un théorème équivalent à l'hypothèse du continu. (Q2624267)

Mit der Kontinuumhypothese ist, wie Verf. beweist, der folgende Satz gleichwertig: Ist \(P\) eine erbliche, absolut additive, jeder einzelnen Zahl zukommende Eigenschaft von Mengen reellen Zahlen und existiert eine Familie \(\Phi \) von einer Mächtigkeit \(\leqq 2^{\aleph _0}\), die aus Mengen mit der Eigenschaft \(P\) besteht, derart, daß jede Menge mit der Eigenschaft \(P\) in mindestens einer der Mengen aus \(\Phi \) enthalten ist, - dann enthält jede Menge \(E\) reeller Zahlen, die nicht die Eigenschaft \(P\) besitzt, eine nicht-abzählbare Teilmenge, die höchstens abzählbar viele Zahlen mit jeder die Eigenschaft \(P\) besitzenden Menge gemeinsam hat. Zwei bemerkenswerte Spezialfälle dieses Satzes werden hervorgehoben: (1) \(P\) bedeutet, eine Menge erster Kategorie zu sein. Unter Voraussetzung der Kontinuumhypothese enthält also jede Menge reeller Zahlen von zweiter Kategorie eine nicht-abzählbar Teilmenge, die höchstens abzählbar viele Zahlen mit jeder linearen Menge erster Kategorie gemeinsam hat. Dies ist eine Verallgemeinerung eines Satzes von \textit{Lusin} (C. R. 158 (1914), 1259; F. d. M. 45, 632 (JFM 45.0632.*)). (2) bedeutet, eine Menge vom Maß Null zu sein. Unter der Voraussetzung der Kontinuumhypothese enthält dann jede Menge reeller Zahlen, die nicht das Maß Null besitzt, eine nicht-abzählbare Teilmenge, die höchstens abzählbar viele Zahlen mit jeder linearen Menge vom Maß Null gemeinsam hat. Ein schwächerer Satz läß sich auch ohne Kontinuumhypothese beweisen: man hat nur oben ``abzählbar viele Zahlen'' durch ``eine Menge von einer Mächtigkeit \(<2^{\aleph _0}\)'' zu ersetzen.