Note sur une inégalité de Cauchy. (Q2624299)

Für positive, reelle Zahlen \(a_\nu \), deren kleinste \(a\) und deren größte \(A\) ist, und \(b_\nu \), deren kleinste \(b\) und deren größte \(B\) ist \((\nu =1,2,\dots,n)\) besteht die bekannte Ungleichung \[ \frac {(a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots +b_n^2)}{(a_1b_1+a_2b_2+\dots +a_nb_n)^2} \leqq \frac 14 \left (\sqrt {\frac {AB}{ab}}+\sqrt {\frac {ab}{AB}}\right )^2. \] Verf. gibt dafür einen neuen geometrischen Beweis, indem er den Schwerpunkt der \(n\) Punkte der Parabel \(y=x^2\) mit den Abszissen \(\frac {a_\nu }{b_\nu }\) und den Massenbelegungen \(b^2_\nu \) betrachtet. Die Ungleichung sagt dann aus, daß dieser Schwerpunkt unterhalb einer gewissen Parabel liegt. - Die Ungleichung wird noch verallgemeinert.