Intorno al teorema di Hadamard sui determinanti a valore massimo. (Q2624310)

Im Anschluß an den bekannten Determinantensatz von \textit{Hadamard} beschäftigt sich Verf. mit der Frage nach Maximalwert des Absolutbetrages einer Determinante \(n\)-ten Grades, deren Elemente dem absoluten Betrag nach sämtlich \(\leqq 1\) sind. Nach \textit{Hadamard} (1893; F. d. M. 25, 221 (JFM 25.0221.*)) wird insbesondere für Determinanten mit Elementen \(\pm 1\) das Maximum \(n^{\frac {n}{2}}\) angenommen, sofern \(n\) eine Potenz von 2 ist, dagegen nicht, wenn \(n\) nicht durch 4 teilbar ist. Im Falle \(n\equiv 0\) (mod 4) existieren aber für gewisse \(n\) solche Maximaldeterminanten mit Elementen \(\pm 1\), wie \textit{Hadamard} und später \textit{Scarpis} (Rendiconti Instituto Lombardo (2) 31 (1898), 1441-1446) und andere nachwiesen. Eines der Hauptresultate des Verf., daß Determinanten mit Elementen \(\pm 1\) den Maximalwert \(n^{\frac {n}{2}}\) nur für \(n=2^\lambda \) annehmen, ist daher falsch. Auf sonst sind Rechnungen und Beweise nicht immer stichhaltig. Zum Schluß gibt Verf. für das Maximum \(\overline {K}_n\) des absoluten Betrages einer Determinante mit Elementen \(\pm 1\) von beliebigem Grade \(n\) die Abschätzungen: \[ \begin{gathered} 2^m \overline {K}_m \leqq \overline {K}_n \leqq n^m\quad \text{für}\quad n=2m,\\ 2^m \overline {K}_m \overline {K}_{m+1} \leqq \overline {K}_n \leqq (n-1)^m (2n-1)^\frac 12\quad \text{für}\quad n=2m+1. \end{gathered} \]