Sets of semi-commutative matrices. I, II. (Q2624323)

Das zuerst von \textit{Eddington} (On sets of anticommuning matrices, Journal L. M. S. 7 (1932), 58-68; F. d. M. 58) gestellte, von \textit{Newman} (Note on an algebraic theorem of Eddington, Journal L. M. S. 7 (1932); 93-99, 272; F. d. M. 58) erweiterte Problem behandelt Verf. in einer ganz allgemeinen Form: \(\omega \) sei eine primitive \(n\)-te Einheitswurzel; man soll eine ``\(E\)-Reihe'' von \(q\) Matrizen des Grades \(t\) angeben, die den Bedingungen genügen: \[ E_\kappa E_\lambda =\omega E_\lambda E\kappa,\;E_\kappa ^n=E\qquad (1\leqq \kappa \leqq \lambda \leqq q), \tag{*} \] wobei \(E\) die Einheistmatrix darstellt; der Maximalwert von \(q\) soll angegeben werden. Eine diesem Maximalwert entsprechende \(E\)-Reihe möge ``maximale \(E\)-Reihe'' heißen. Hierfür erhält Verf. folgendes Resultat: Ist \(t=n^p \tau \) mit \(\tau \not \equiv 0\) (mod \(n\)), so ist das Maximum von \(q\) gleich \(2p+1\), und für jeden Wert von \(t\) kann maximale \(E\)-Reihe von \(2p+1\) Gliedern aufgestellt werden. Der Beweis dieser Behauptung verläuft induktiv; für ein \(t\not \equiv 0\) (mod \(n\)) ist der Maximalwert von \(q\) gleich \(1\). Aus der Existenz einer \(E\)-Reihe von \(q\) Gliedern für \(t=n^p \tau \) mit \(\tau \not \equiv 0\) (mod \(n\)) kann dann eine \(E\)-Reihe von \(q+2\) Gliedern für \(t=n^{p+1} \tau \) geschlossen werden. Dieser Schluß kann aber auch in umgekehrter Richtung gemacht werden. Für eine Zahl \(t=n \tau \) mit \(\tau \not \equiv 0\) (mod \(n\)) wird aber \(E\)-Reihe von drei Gliedern direkt angegeben. Damit ist die Beweisfürung für den obigen Satz klar. Die von \textit{Eddington} und \textit{Newman} weiterhin durchgefürte Untersuchung über die Anzahl der reellen Matrizen einer \(E\)-Reihe muß hier naturgemäß eine Abänderung erfahren. Es bezeichne \(P(\omega )\) den aus dem Körper der rationalen Zahlen durch Adjunktion von \(\omega \) entstehende Körper. Eine Matrix \(A\) heißt \(R\)-Matrix, wenn ihre Koeffizienten dem Körper \(P(\omega )\) angehören, dagegen \(I\)-Matrix, wenn \(A=\sqrt {\omega } B\) gilt mit einer \(R\)-Matrix \(B\). Diese Definition hat natürlich nur einen Sinn für ein gerades \(n\), weshalb das folgende Resultat sich auch nur auf diesen Fall bezeiht: Beschränkt man sich auf maximale \(E\)-Reihe, die nur \(R\)-Matrizen und \(I\)-Matrizen enthalten, so ist die Anzahl der \(R\)-Matrizen einer solchen maximalen \(E\)-Reihe eine Zahl \(u\) der Form. \[ \begin{aligned} 0 \leqq u \leqq 2p+1,\;&u \equiv p+1\;(\text{mod}\;4)\quad \text{für}\quad \tau \not \equiv 0\;(\text{mod}\;2),\\ 0 \leqq u \leqq 2p+1,\;&u \equiv p+1\;\text{oder}\;u \equiv p\;(\text{mod}\;4)\;\text{für}\;\tau \equiv 0\;(\text{mod}\;2). \end{aligned} \] Für jeden zulässigen Wert von \(u\) existieren maximale \(E\)-Reihen mit den angegebenen Eigenschaften. Im zweiten Teil seiner Arbeit läßt Verf. die zweite Bedingung von (*) fallen und untersucht Systeme von Matrizen, die allein der Bedingung \[ E_\kappa E_\lambda = \omega E_\lambda E_\kappa \qquad (1\leqq \kappa \leqq \lambda \leqq q)\tag{**} \] genügen mit der Voraussetzung, daß alle Matrizen \(E \kappa \) nicht singulär sind. Betrachtet man die Menge aller Matrizen der Form. \[ A= \sum a (e \kappa ) \times E (e \kappa )\quad (\text{\textit{Kronecker}sches Produkt});\tag{***} \] wobei jedes \(a (e \kappa )\) eine beliebige Matrix eines beliebigen Grades \(r,\;E (e\kappa )\) das Produkt \(E (e_\kappa )= E_1^{e_1} E_2^{e_2}\dots E_\kappa ^{e_\kappa }\) (mit \(0 \leqq e_\kappa \leqq q-1\)) bedeutet, die Summation aber über alle Potenzprodukte der \(E_\kappa \) zu erstrecken ist, so gilt: Ist \(E_1,\dots,E_q\) \((q=2p)\) eine Reihe von Matrizen der Ordnung \(n^p\), die (**) genügt, so verschwindet eine Matrix der Form (***) dann und nur dann, wenn jedes \(a (e_\kappa )\) verschwindet. Daher läßt sich jede Matrix \(A\) Grades \(n^{p} r\) in der Gestalt (***) darstellen. Die Größen \(a (e_\kappa )\) lassen sich, wenn die \(E\)-Reihe bekannt ist, sehr einfach aus einer von Verf. angegebenen Formel berechnen. Man findet im Falle \(r=1\), daß die \(n\)-te Potenz jeder Matrix einer maximalen \(E\)-Reihe, die (**) genügt, eine skalare Matrix ist. Somit kann man durch Multiplikation mit skalaren Matrizen eine maximale \(E\)-Reihe normalisieren, d. h. erreichen, daß die Matrizen der \(E\)-Reihe \(n\)-te Wurzeln der Einheistmatrix werden. Für normalisierte \(E\)-Reihen gilt der Satz: Zwei derartige \(E\)-Reihe von Matrizen der Ordnung \(n^p\) sind ähnlich. Den Schluß der Arbeit macht eine Untersuchung über kommutative Kollineatiosgruppen aus. Mit Hilfe der angegebenen Ergebnisse - eine Beziehung, die unmittelbar einleuchtet - kann Verf. die Struktur aller maximalen Gruppen von kommutativen periodischen Kollineationen einer maximalen Periode in Räumen beliebiger Dimension genau angeben.