On the canonical form of the singular matrix pencil. (Q2624327)

Verf. behandelt das bekannte Problem, die kanonische Form von \textit{Kronecker} eines singulären Büschels von Matrizen durch elementare rationale Methoden herzuleiten. Es sei \(\Lambda = \lambda A +\mu B\) ein singuläres Büschel, es sei also entweder die Matrix \(\Lambda \) nicht quadratisch oder im quadratischen Falle die Determinante \(|\Lambda |\) identisch Null. Es gibt dann Vektoren \[ \vartheta = [\vartheta _1,\vartheta _2,\dots,\vartheta _p]; \qquad \varphi = [\varphi _1,\varphi _2,\dots,\varphi _q] \] mit Elementen \(\vartheta _\kappa \), \(\varphi _\lambda \), die homogene Polynome niedrigen Grades in \(\lambda \), \(\mu \) sind, so daß \(\vartheta \Lambda =0\) und \(\Lambda \varphi =0\) gilt; die Grade der \(\vartheta _\kappa \) bzw. \(\varphi _\lambda \) sind sämtlich gleich, etwa \(m\) bzw. \(m'\). Diese Minimalgrade sind invariant unter nichtsingulären Transformationen der Matrix \(\Lambda \) und nichtsingulären linearen Transformationen der Veränderlichen \(\lambda \), \(\mu \). Setzt man nun den Vektor \[ \vartheta ' = [\mu ^m,- \lambda \mu ^{m-1}, \lambda ^2 \mu ^{m-2},\dots, (-1)^m \lambda ^m] \] an, so kann mit einer geeigneten nichtsingulären Matrix \(H\) \[ \vartheta = [\vartheta ',0,\dots,0] H \] erhalten werden. Die Matrix \(H \Lambda \) kann nun auf eine höchst einfache Weise schrittweise in die gewünschte kanonische Form gebracht werden, durch Postmultiplikation mit nichtsingulären Matrizen. Entsprechendes gilt für den Vektor \(\varphi \).