Sur un théorème de Mr. J. L. Walsh. (Q2624341)

Verf. beweist sehr kurz den sogenannten Satz von \textit{Walsh} (1924; F. d. M. 50, 45 (JFM 50.0045.*)-46. Vgl. auch \textit{Carmichael}, 1918; F. d. M. 46, 123 (JFM 46.0123.*)): Alle Wurzeln der Gleichung \[ f(z)=a_0z^n + a_1z^{n-1}+\dots +a_n =0 \] liegen, wenn \(a_0=1\) ist, im Kreise \[ |z|\leqq |a_1|+ \sqrt {|a_2|}+ \root 3 \of {|a_3|} + \dots + \root n \of {|a_n|}. \] Er benutzt dazu die Polynomfolge \[ P_1(z)=a_0 z + a_1, \;P_2(z) = a_0 z^2 + a_1 z + a_2,\;\dots \] und zeigt, daß Minimalabstand zwischen einer Wurzel von \(P_{k-1}(z)=0\) und einer Wurzel von \(P_k(z)=0\) höchstens \(\root k \of {\frac {a_k}{a_0}}\) sein kann. Aus diesem Ergebnis folgt der Satz leicht durch Induktion; ferner zeigt sich, daß die angegebene Schranke nur in dem trivialen Falle \(f(z)=z^n+a_k z^{n-k}\) wirklich angenommen wird.