Untersuchungen über algebraische Gleichungen. I: Bemerkungen zu einem Satz von E. Schmidt. (Q2624344)

\textit{Erhard Schmidt} hat folgenden Satz funktionentheoretisch bewiesen (man vgl. die Mitteilung in den Sitzungsberichten Akad. Berlin 1932, 321): Hat eine algebraische Gleichung \[ f(x)=a_0 + a_1 x +\dots + a_n z^n = 0 \tag{1} \] \(r\) reelle Wurzeln (mehrfache Wurzeln mehrfach gezählt), so ist \[ r< \sqrt {cn\, \log P}, \] wobei \[ P=\frac {1}{\sqrt {|a_0a_n|}}(|a_0|+|a_1|+\dots +|a_n|) \] und \(c\) eine von der Wahl der Gleichung unabhängige positive Konstante ist. Verf. gibt für diesen Satz einen neuen Beweis auf rein algebraischer Grundlage und findet die schärferen Resultate: \(1.\) Für jede Gleichung \((1)\) ist \(r^2-2r<4n\, \log P\). \(2.\) Für \(n>6\) ist \(r^2<4n\, \log P\). \(3.\) Ist \(0<a<4\), so können beliebig hohen Grades angegeben werden, für die \(r^2>an\,\log P\) ist, d. h. die Konstante \(4\) kann nicht verbessert werden. An Stelle des Ausdrucks \(P\) benutzt die Untersuchung den Ausdruck \[ Q=\frac {1}{|a_0a_n|}(|a_0|^2+|a_1|^2+\dots +|a_n|^2), \] der zu \(P\) in der Beziehung \(Q\leqq P^2\leqq (n+1)Q\) steht. Die Aufgabe besteht nun darin, für einige Klassen von Gleichungen gegebenen Grades das genaue Minimum \(M\) des Ausdrucks \(Q\) zu bestimmen; es können die Extremalfunktionen \(E(x)\) für dieses Minimumproblem in den behandelten Fällen genau angegeben werden. (Man vgl. hierzu Arbeit von \textit{G. Szegö}, 1934; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 61-62.) Zu vorgegebenen Zahlen \(p\), \(q\) sei \({\mathfrak G}_{p,q,n}\) die Gesamtheit aller Gleichungen \((1)\) mit mindestens \(p\) positiven und \(q\) negativen reellen Wurzeln. Das zugehörige Minimum von \(Q\) sei \(M_{p,q,n}\). Dann ist offenbar das Minimum \(M_{r,n}\) von \(Q\) für die Gesamtheit \({\mathfrak G}_{r,n}\) von Gleichungen \(n\)-ten Grades mit mindestens \(r\) reellen Wurzeln die kleinste unter den Zahlen \[ M_{r,0,n},\;M_{r-1,1,n},\dots,\;M_{0,r,n}. \] Da man \(M_{p,q,n}=M_{q,p,n}\) hat, kann man sich auf den Fall \(p\geqq q\) beschränken. Die Werte \(M_{p,q,n}\) können nun, das ist das Hauptresultat der Arbeit, direkt angegeben werden: Es sei \(k_{\nu }=\frac {n+\nu }{n-\nu }\) \((\nu =1,2,\dots,n-1)\). Man setzte für \(p\geqq q\) \[ \begin{aligned} K_{p,0,n} &= k_1 k_2 \dots k_{p-1},\\ K_{p,q,n} &= \frac {k_1 k_2 \dots k_{p+q-1}}{k_{p-q+1} k_{p-q+3} \dots k_{p+q-1}}.\end{aligned} \] Ferner sei \[ K_{q,p,n}=K_{p,q,n};\quad K_{0,0,n}=K_{1,0,n}=1. \] Dann ist für \(p\geqq q\) \[ M_{p,q,n}= 2 K_{p,q,n}\quad \text{oder}\quad M_{p,q,n}=2K_{p,q+1,n}, \] je nachdem die Differenz \(n-p-q\) gerade oder ungerade ist. Die zugehörige Extremalfunktionen können gleichfalls genau bestimmt werden. Es würde zu weit führen, die expliziten Ausdrücke hier anzugeben, zumal da man durch \textit{G. Szegö} weiß, daß diese Extremalfunktionen \textit{Jakobi}sche Polynome sind. Hieraus folgt nun sofort der Wert des Minimums \(M_{r,n}\): \[ M_{r,n}=2 \;\;\text{für}\;\;r\leqq 1\;\;\text{und für} \;\;r=2 \;\;\text{bei geradem}\;\;n, \] sonst \[ M_{r,n}=2\, \prod {}' \frac {n+\mu }{n-\mu }, \] wobei \(\mu \) alle Zahlen des Intervalls \(1,2,\dots,r-1\) durchläuft, die mod \(2\) der Zahl \(n\) kongruent sind. Für das eigentliche Problem der Arbeit erhält man die Abschätzungen: Besitzt die Gleichung \((1)\) mindestens \(p\) positive und \(q\) negative reelle Wurzeln, so wird \[ p^2 + q^2 - p - q \leqq n \log \frac {Q}{2}\quad \text{oder}\quad p^2 + q^2 - |p - q| \leqq n \log \frac {Q}{2}, \] je nachdem \(n-p-q\) gerade oder ungerade ist. Für die Anzahl der reellen Wurzeln gilt \[ r^2-2r\leqq 2n\, \log \frac {Q}{2}, \] für \(n>6\) sogar \[ r^2<2n\, \log \frac {Q}{2}, \] wobei die Konstante \(2\) nicht verbessert werden kann. Hieraus folgen dann auch die zu Beginn angegebene Resultate. Als Anwendung ergibt sich insbesondere eine weitgehende Verbesserung eines Satzes von \textit{Bloch-Pólya} (1931; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 129), der besagt, daß für die Klasse aller Gleichungen \((1)\), die den Bedingungen \[ |a_0|\geqq \mu ';\;\;|a_n|\geqq \mu ';\;\;|a_{\nu }|\leqq \mu \qquad (\nu =0,1,\dots,n) \] genügen, die Anzahl der reellen Wurzeln jeder Gleichung durch \[ r=O\biggl (\frac {n\log \log n}{\log n}\biggr ) \] abgeschätzt werden kann. Aus dem \textit{Schmidt}schen Satze folgt unmittelbar \[ r^2\leqq 2n\, \log (n+1) + 4n \, \log \frac {\mu }{\mu '}, \] wobei links für \(n\leqq 6\) an Stelle von \(r^2\) die Zahl \(r^2-2r\) zu setzen ist.