Slowly increasing arithmetic series. (Q2624408)

\textit{D. H. Lehmer} hat (Thesis Brown University, 1930) die Eigenschaften der Zahlen \[ U_n=\frac {\alpha ^n-\beta ^n}{\alpha -\beta }\qquad (n=1,2,\dots ) \] untersucht, wo \(\alpha \), \(\beta \) Wurzeln einer Gleichung \(x^2-\sqrt {a}\,x+c=0\) sind (\(a\), \(c\) ganz und rational, \(a>0\)). Für die Faktorzerlegung der \(U_n\) ist wichtig, daß die primitiven Teiler (d. h. Teiler, die nicht schon in einem \(U_r\) mit \(r<n\) aufgehen) von der Form \(kn\pm 1\) sind. Verf. zeigt, daß unter diesen Folgen die Folge \(U_n\) mit \(a=5\), \(c=2\) die (absolut genommen) am langsamsten anwachsenden Glieder hat, also in bezug auf die Faktorzerlegung am geeignetsten ist. Die analoge Fragestellung für kubische Irrationalitäten führt auf die Folge \[ u_n=N(\alpha ^n-1)\qquad (N=\text{Norm}), \] wo \(\alpha \) der Gleichung \(x^3-x-1=0\) genügt. Eine Tabelle der Faktorzerlegungen für die ersten \(100\) Glieder dieser Folge ist angegeben.