Der Hauptgeschlechtssatz für relativ-galoissche Zahlkörper. (Q2624433)

Als algebraischen Kern des Hauptgeschlechtssatzes betrachtet Verf. den \textit{Hauptgeschlechtssatz im Minimalen}. Darunter versteht sie den folgenden rein algebraischen Satz über verschränkte Produkte \(A=(a_{S, T}, K) = K(u_S)\) mit \(u_S u_T = u_{ST} a_{S, T}\) zu einer separabel-galoisschen Erweiterung \(K\) eines beliebigen Körpers \(k (S, T\) durchlaufen die Elemente der galoisschen Gruppe \(\mathfrak G\) von \(K/k\)): 1. \textit{Fassung}. Sei \(\mathfrak G^*\) die aus \(K^*\) (\(K\) ohne 0) und den \(u_S\) erzeugte Erweiterung von \(\mathfrak G\) (abstrakt charakterisiert als die Gesamtheit aller derjenigen regulären Elemente \(g^*\) aus \(A\), die \(K\) als Ganzes in sich transformieren: \(g^{*-1} Kg^*=K\)). Dann ist jeder Automorphismus von \(\mathfrak G^*\), der \(K^*\) elementweise festläßt, ein innerer und wird durch Transformation mit einem Element aus \(K^*\) erzeugt. 2. \textit{Fassung}. Ist für ein den Elementen \(S\) aus \(\mathfrak G\) zugeordnetes System von Elementen \(c_S\) aus \(K^*\) das System der Tranformationsgrößen \(\frac {C^T_S C_T}{C_{ST}}=1\), so existiert ein Element \(b\) in \(K^*\) derart, daß \(c_S = b^{1-S}\) für alle \(S\) aus \(\mathfrak G\) gilt. 3. \textit{Fassung}. \(\mathfrak G\) besitzt in \(K^*\) nur eine einzige verschränkte Darstellungsklasse ersten Grades mit Faktorensystem 1. Der Beweis der 1. Fassung beruht darauf, daß sich jeder Automorphismus der angegeben Art von \(\mathfrak G^*\) zu einem Automorphismus von \(A\) fortsetzen läßt; ein solcher ist ja bekanntlich stets ein innerer. Die 2. und 3. Fassung ergeben sich dann unmittelbar aus der 1. Fassung. Die 3. Fassung ist übrigens nur ein Spezialfall des folgenden allgemeinen Satzes, den Verf. in ihren Vorlesungen entwickelt hat: \(\mathfrak G\) besitzt überhaupt zu \textit{jedem} Faktorensystem \(a_S, T\) nur eine einzige irreduzible verschränkte Darstellungsklasse in \(K^*\), und zwar ist diese vom Grade \(m\), wo \(m\) der Index von \(A\) (Grad der zugehörigen Divisionsalgebra) ist. Im Spezialfall, daß \(\mathfrak G= \{ S\} \) zyklisch ist, geht die 2. Fassung in den bekannten Satz 90 aus \textit{Hilberts} Zahlbericht über: Aus \(N(c)=1\) folgt \(c=b^{1-S}\). Als \textit{eigentlichen Hauptgeschlechtsatz} bezeichnet Verf. einen analogen Satz über verschränkte Produkte zu der absoluten Idealklassengruppe einer galoisschen Erweiterung \(K\) eines algebraischen Zahlkörpers \(k\) (mit aus Idealklassen bestehenden Faktorensystemen). Damit ein solches verschränktes Produkt überhaupt eindeutig definiert ist, muß man eine passende Klasseneinteilung der Faktorensysteme \(a_{S, T}\) aus Idealen von \(K\) zugrunde legen. Auf Grund des Fundamentalsatzes von den überall zerfallenden Algebren reicht die folgende Einteilung gerade aus: In die Hauptklasse werden alle Faktorensysteme aus Hauptidealen (\(a_{S, T}\)) genommen, für die zudem die verschränkten Produkte \((a_{S,T}, K)\) an allen Verzweigungsstellen von \(K/k\) zerfallen. Diese Klasseneinteilung der Idealfaktorensysteme sieht Verf. als Verallgemeinerung der für den zyklischen Fall beim Hauptgeschlechtssatz auftretenden Strahlklasseneiteilung im Grundkörper \(k\) an. Es mag genügen, den eigentlichen Hauptgeschlechtsatz hier in dem Analogon der obigen 2. Fassung anzufügren: Ist für ein den Elementen \(S\) aus \(\mathfrak G\) zugeordnetes System von Idealen \(c_S\) von \(K\) das System der Transformationsgrößen \(\frac {C^T_S C_T}{C_{ST}} \sim 1\) im Sinne der angegebenen Klasseneinteilung der Idealfaktorensysteme - diese Aussage hängt, wie sofort zu sehen, tatsächlich nur von den absoluten Idealklassen \(C_S\) der \(c_S\) ab --, so gibt es eine absolute Idealklasse \(B\) von \(K\) derart, daß \(C_S = B^{1-S}\) für alle \(S\) aus \(\mathfrak G\) ist. Die Klassensysteme \(C_S\) dieser Art sind als das Analogon des Hauptgeschlechts im zyklischen Fall anzusehen, entsprechend der bekannten Formulierung des Hauptgeschlechtssatzes für zyklisches \(\mathfrak G= \{ S \}\): Ist \(C\) eine absolute Idealklasse von \(K\) mit \(N(C) \sim 1\) im Sinne der \(K\) in \(k\) zugeordneten Strahlklasseneinteilung, so ist \(C=B^{1-S}\). Der Beweis des angefügrten allgemeinen Hauptgeschlechtssatzes ergibt sich nach \textit{Artin} durch Kombination des entsprechenden fast trivialen formal-algebraischen Satzes für Ideale selbst mit dem Fundamentalsatz von den überall zerfallenden Algebren. (III 5.)