Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppe über einem algebraischen Zahlkörper. Insbesondere Begründung der Theorie des Normenrestsymbols und Herleitung des Reziprozitätsgesetzes mit nichtkommutativen Hilfsmitteln. (Q2624434)

In dieser Arbeit wird die genaue Struktur der Gruppe der Algebrenklassen über einem algebraischen Zahlkörper \(k\) bestimmt. Gleichzeitig wird die Theorie des Normenrestsymbols mit nichtkommutativen in überraschend einfacher Weise aufgebaut und schließlich das \textit{Artin}sche Reziprozitätsgesetz abgeleitet. Das einzig tiefliegende Hilfsmittel aus der Klassenkörpertheorie, das verwendet wird, ist der Normensatz. Dazu tritt beim Beweis des \textit{Artin}schen Reziprozitätsgesetzes noch der \textit{Frobenius}sche Dichtigkeitssatz und die fundamentale Ungleichung zwischen dem Grad eines relativ \textit{Galois}schen Körpers über \(k\) und der Klassenzahl der zugeordneten Idealklasseneinteilung in \(k\). Ein weiterer Hilfssatz ist inzwischen elementar von \textit{van der Waerden} (1934; JFM 60.0118.*) bewiesen worden. Im einleitenden ersten Abschnitt wird ein Überblick über die Tatsachen der algebraischen Theorie der hyperkomplexen Größen gegeben, die im folgenden verwemdet werden. Hervorgehoben sei ein neuer Beweis für den Satz, der das Verhalten des Faktorensystems einer Algebrenklasse bei Übergang von einem Zerfällungskörper zu einem umfassenderen ausdrückt. Darauf werden die einfachen normalen Algebren über einem algebraischen Zahlkörper \(k\) zunächst im Kleinen untersucht. Die Grundlage bildet die Arbeit des Verf. in den Math. Ann. 104 (1931), 495-534 (JFM 57.0157.*-158). Ist \(\mathfrak p\) ein Primideal von \(k\) und \(k_{\mathfrak p}\) die \(\mathfrak p\)-adische Erweiterung von \(k\), so gibt es zu jedem Grad \(m_{\mathfrak p}\) nur einen über \(k_{\mathfrak p}\) unverzweigten Körper \(W^{\mathfrak p}\) vom Grad \(m_{\mathfrak p}\), den Körper der \((N({\mathfrak p})^{m\mathfrak p} -1\)-ten Einheitswurzeln. Als Erzeugende der zyklischen galoisschen Gruppe von \(W^{\mathfrak p}\) über \(k_{\mathfrak p}\) kann der \textit{Frobenius-Artin}-Automorphismus \(F_{\mathfrak p}\) von \(W^{\mathfrak p}\) gewählt werden. Ist jetzt \(\mathfrak A_{\mathfrak p}\) eine normale einfache Algebrenklasse vom Index \(m_{\mathfrak p}\), so läßt sich die zu \(\mathfrak A_{\mathfrak p}\) gehörende Divisionsalgebra \(D^{\mathfrak p}\) mit Hilfe von \(W^{\mathfrak p}\) als Zerfällungskörper zyklisch darstellen: \[ D^{\mathfrak p} = (\alpha _{\mathfrak p}, W^{\mathfrak p}, F_{\mathfrak p}). \] Hier sei die Zahl \(\alpha _{\mathfrak p}\) genau durch \({\mathfrak p}\) in der Potenz \(\mu _{\mathfrak p}\) teilbar. Dann werde als \({\mathfrak p}\)-Invariante \(\left ( \frac {\mathfrak A_{\mathfrak p}}{\mathfrak p} \right )\) die Restklasse von \( \varrho _{\mathfrak p} = \frac {\mu _{\mathfrak p}}{m_{\mathfrak p}}\) (mod 1) bezeichnet. Durch die Invarianten \(\left ( \frac { \mathfrak A_{\mathfrak p}}{{\mathfrak p}} \right ( \) wird im Fall eines endlichen \({\mathfrak p}\) die Gruppe \(\mathfrak G_{\mathfrak p}\) aller Algebrenklassen über \(k_{\mathfrak p}\) isomorph auf die additive Restklassengruppe aller rationalen Zahlen (mod 1) abgebildet: \[ \left ( \frac {{\mathfrak A}_{\mathfrak p} {\mathfrak B}_{\mathfrak p}}{_{\mathfrak p}} \right ) \equiv \left ( \frac {{\mathfrak A}_{\mathfrak p}}{{\mathfrak p}} \right ) + \left ( \frac {{\mathfrak B}_{\mathfrak p}}{{\mathfrak p}} \right ) \quad ({\text{mod }} 1). \] Im Fall eines unendlichen \({\mathfrak p}\) hat man nur die Restklasse 0 und \(\frac 12\) oder nur 0 zu nehmen, je nachdem ob \({\mathfrak p}\) reell ist oder nicht. Ist jetzt \(Z^{\mathfrak p}\) ein zyklischer Körper vom Grad \(n_{\mathfrak p}\) über \(k_{\mathfrak p}\) und \(S_{\mathfrak p}\) ein erzeugender Automorphismus von \(Z^{\mathfrak p}\), so betrachte man für ein gegebenes \(\alpha _{\mathfrak p}\) aus \(k_{\mathfrak p}\) die Klasse \(\mathfrak A_{\mathfrak p}\) der zyklischen Algebra \((\alpha _{\mathfrak p}, Z^{\mathfrak p}, S_{\mathfrak p})\). Ist \(\left ( \frac { \mathfrak A_{\mathfrak p}}{\mathfrak p} \right ) \equiv \frac {\nu _{\mathfrak p}}{n_{\mathfrak p}}\) (mod 1), so wird das Normenrestsymbol \(\left ( \frac {\alpha _{\mathfrak p}, Z^{\mathfrak p}}{{\mathfrak p}} \right )\) als der Automorphismus \(S^{-\nu {\mathfrak p}}_{\mathfrak p} \) definiert; der Wert ist von der Auswahl von \(S_{\mathfrak p}\) unabhängig. Das Symbol hat dann und nur dann den Wert 1, wenn \(\alpha _{\mathfrak p}\) Norm einer Zahl aus \(Z^{\mathfrak p}\) ist; es gilt \[ \left ( \frac {\alpha _{\mathfrak p} \beta _{\mathfrak p}, Z^{\mathfrak p}}{\mathfrak p} \right ) = \left ( \frac {\alpha _{\mathfrak p}, Z^{\mathfrak p}}{\mathfrak p} \right ) \left ( \frac {\beta _{\mathfrak p}, Z^{\mathfrak p}}{\mathfrak p} \right ), \] so daß also \(\alpha _{\mathfrak p} \to \left ( \frac {\alpha _{\mathfrak p}, Z^{\mathfrak p}}{{\mathfrak p}} \right )\) eine isomorphe Abbildung der Normenklassengruppe von \(Z^{\mathfrak p}\) in \(k_{\mathfrak p}\) auf die galoisssche Gruppe von \(Z^{\mathfrak p}\) über \(k_{\mathfrak p}\) vermittelt. Das ist der Isomorphiesatz der Klassenkörpertheorie im Kleinen. Ist \(Z^{\mathfrak p}\) unwerzweigt über \(k_{\mathfrak p}\), so ist der Wert des Normenrestsymbols die \((-\nu _{\mathfrak p})\)-te Potenz des \textit{Frobenius-Artin}-Symbols, wo \(\nu _{\mathfrak p}\) die Ordnungszahl von \(\alpha _{\mathfrak p}\) in \({\mathfrak p}\) bedeutet. Beim Übergang zur Untersuchung des Verhaltens im Großen spielen die Ergebnisse der Arbeit von \textit{R. Brauer, H. Hasse} und \textit{E. Noether} (``Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren'', J. f. M. 167 (1932), 399-404; F. d. M. 58) eine Rolle. Ist \({\mathfrak A}\) eine einfache normale Algebrenklasse und zerfällt \({\mathfrak A}\) für jedes Primideal von \(k\) (d. h. die \({\mathfrak p}\)-adisch erweiterte Klasse \({\mathfrak A}_{\mathfrak p}\) besteht aus den vollen Matrizenalgebren aus \(k_{\mathfrak p}\)), so zerfällt \({\mathfrak A}\) selbst (ist die Klasse der vollen Matrizenalgebren aus \(k\)). Daraus folgt das elegante Kriterium: Ein algebraischer Erweiterungskörper \(K\) von \(k\) von endlichem Grad über \(k\) ist dann und nur dann Zerfällungskörper für eine Algebrenklasse \(\mathfrak A\), wenn für jede Primstelle \({\mathfrak p}\) aus \(k\) und die zugehörigen \(\mathfrak B\) von \(K\) der Index \(m_{\mathfrak p}\) von \({\mathfrak A}_{\mathfrak p}\) stets ein Teiler von \(e_{\mathfrak B}. f_{\mathfrak B}\) ist, wo \(e_{\mathfrak B}\) die Verzweigungsordnung und \(f_{\mathfrak B}\) der Grad von \({\mathfrak B}\) in bezug auf \({\mathfrak p}\) ist. Unter \(\left ( \frac {{\mathfrak A}}{\mathfrak p} \right )\) versteht man den Wert der Invariante \(\left ( \frac {{\mathfrak A}_{\mathfrak p}}{\mathfrak p} \right )\) für die \(\mathfrak p\)-adisch erweiterte Algebrenklasse. Dann und nur dann ist \({\mathfrak A} = \widetilde {{\mathfrak A}}\), wenn \(\left ( \frac {\mathfrak A}{\mathfrak p} \right ) = \left ( \frac {\widetilde {\mathfrak A}}{\mathfrak p} \right ) \) für alle \(\mathfrak p\) ist. Es gilt \[ \left ( \frac {{\mathfrak AB}}{\mathfrak p} \right ) \equiv \left ( \frac { {\mathfrak A}}{\mathfrak p} \right ) + \left ( \frac { {\mathfrak B}}{\mathfrak p} \right ) \quad ( \text{mod } 1). \] Die Werte von \(\left ( \frac { {\mathfrak A}}{\mathfrak p} \right )\) für festes \(\mathfrak A\) unterliegen den folgenden Bedingungen: Nur endlich viele \(\left ( \frac { {\mathfrak A}}{\mathfrak p} \right )\) sind bei gegebenem \(\mathfrak A\) von 0 verschieden (mod 1). Die Werte sind rationale Zahlen für endliches \(\mathfrak p, 0\) und \(\frac 12\) oder nur 0 für unendliches \(\mathfrak p\). Außerdem gilt die wichtige Relation \[ \sum _{\mathfrak p} \left ( \frac { {\mathfrak A}}{\mathfrak p} \right ) \equiv 0 \quad (\text{mod } 1), \] wo die Summe über alle \(\mathfrak p\) zu erstrecken ist. Schreibt man umgekehrt die Werte von \(\left ( \frac { {\mathfrak A}}{\mathfrak p} \right ) \) so vor, daß diese Bedingungen erfüllt sind, so gibt es dazu immer eine und nur eine Algebrenklasse \(\mathfrak A\). Durch diese Sätze ist die gruppentheoretische Struktur der Gruppe der Algebrenklassen bestimmt. Die Definition des Normenrestsymbols verläuft analog wie im \(\mathfrak p\)-adischen Fall. Ist Z ein zyklischer Körper \(n\)-ten Grades und \(S\) ein erzeugender Automorphismus, so bilde man für gegebenes \(\alpha \) aus \(k\) die Algebrenklasse \(\mathfrak A\) von \((\alpha, Z, S)\). Ist \(\left ( \frac { {\mathfrak A}}{\mathfrak p} \right ) \equiv \frac {\widetilde {\nu }_\mathfrak p}{n}\) (mod 1), so setze man \(\left ( \frac {\alpha, Z}{\mathfrak p} \right ) = S^{- \widetilde {\nu } \mathfrak p}\). Das Normenrestsybol vermittelt eine isomorphe Abbildung der Normenrestklassengruppe nach dem \(\mathfrak p\)-Führer \(f_\mathfrak p\) von \(Z\) auf die Zerlegungsgruppe von Z. Ist \(\mathfrak p\) endlich und unverzweigt, so ist der Wert die \((- \nu _{\mathfrak p})\)-te Potenz des \textit{ {Artin-Frobenius}}-Automorphismus, wo \(\nu _{\mathfrak p}\) die Ordnungszahl von \(\alpha \) in \({\mathfrak p}\) ist. Die oben erwähnte Summenrelation für Invarianten von \(\mathfrak A\) gibt das Reziprozitätsgesetz in der Produktform \(\Pi _{\mathfrak p} \left ( \frac {\alpha, Z}{{\mathfrak p}} \right ) =1\). Nachträglich ergibt sich die Identität des Symbols mit der früheren Definition (vgl. \textit{ {H. Hasse}}, 1930; JFM 56.0165.*). Bei der jetzigen Definition ist (im Gegensatz zur früheren) der Normenrestcharakter von vornherein gesichert; das Reziprozitätsgesetz ist eine tiefliegende Tatsache. Nachdem die Theorie des Normenrestsymbols gegeben ist, kann das \textit{ {Artin}}sche Reziprozitätsgesetz unter Verwendung der oben erwähnten Hilfsmittel ohne Schwierigkeit abgeleitet werden. (III 5.)