Über das zweite Hauptproblem der ``Factorisatio Numerorum''. (Q2624449)

\(R(n)\) bedeute die Anzahl aller möglichen Zerlegungen der ganzen Zahl \(n\) in ganzzahlige Faktoren. Die Bestimmung der Größenordung von \[ \sum _{\nu = 1}^n R(\nu ) \] werde als Hauptproblem der ``Factorisatio numerorum'' bezeichnet, und zwar sprechen wir vom ersten bzw. zweiten Hauptproblem, je nachdem zwei Zerlegungen, die sich nur in der reihenfolge der Faktoren unterscheiden, als verschieden oder als gleich angesehen werden. Das erste Problem wurde von \textit{L. Kalmár} behandelt [Über die mittlere Anzahl der Produktdarstellungen der Zahlen, Acta Szeged 5, 95--107 (1931; JFM 57.1365.02)]. Verf. untersuchen das zweite Problem und beweisen: \[ \frac 1{n} \sum _{\nu = 1}^n R(\nu ) = \frac 1{2 \sqrt \pi } \frac {e^{2 \sqrt {\log n}}}{\log ^{\frac 34} n} + A_1 \frac {e^{2 \sqrt {\log n}}}{\log ^{\frac 54} n} + \dots + A_{k-1} \frac {e^{2 \sqrt {\log n}}}{\log ^{\frac {2k+1}4} n} + O \left ( \frac {e^{2 \sqrt {\log n}}}{\log ^{\frac {2k+3}4} n} \right ), \] wo \(A_1, A_2 \dots \) gewisse Konstanten bezeichnen und \(k\) beliebig groß gewählt werden kann. Der Beweis folgt üblichen Methoden der analytischen Zahlentheorie. Er geht aus von der Identität \[ \sum _1^{\infty } \frac {R(n)}{n^8} = e^{\psi (s)}, \] wo \[ \psi (s) = \sum _1^\infty \frac 1{k} (\zeta (ks) - 1)). \] (Es ist leicht zu sehen, daß die Funktion \(\varphi (s)=\psi (s) - \frac 1{s-1}\) für \(\sigma > \frac 12\) regulär ist und daß \(\varphi (1) = 0\) ). Man benutzt nun die bekannte Identität: \[ \sum _{n \leqq x} R(n) \log \frac {x}{n} = \frac 1{2 \pi i} \int \limits _{2-i\infty }^{2+i\infty } \frac {x^s}{s^2} e^{\psi } (s) ds. \] Die Auswertung des Integrals ergibt: \[ \sum _{n \leqq x} R(n) \log \frac {x}{n} = \frac 1{2 {\sqrt \pi }} \frac {xe^{2\sqrt {\log x}}}{\log ^{\frac 34} x} + d_1 x \frac {e^{2 \sqrt {\log x}}}{\log ^{\frac 54} x } + \dots + d_{k-1} x \frac {e^{2 \sqrt {\log x}}}{\log ^{\frac {2k+1}4} x }+ O \left ( \frac {xe^{2 \sqrt {\log x}}}{\log ^{\frac {2k+3}4} x } \right ), \] woraus nach einer weiteren Betrachtung das behauptete Ergebnis folgt.