Reihen in topologischen Gruppen. (Q2624489)

Ein topologischer Raum, dessen Elemente eine Gruppe bilden, heißt eine \textit{topologische} Gruppe, wenn die Zusammensetzungsvorschrift die Eigenschaft hat, daß aus \(x_n \to x\) und \(y_n \to y \quad x_n + y_n \to x + y\) und \(-x_n \to -x\) folgt. Nennt man nun \textit{Summenhäufungspunkt} einer Punktfolge \(u_n\) jeden Häufungspunkt der Menge \(s_n = \sum _1^n u_i\) und \textit{Summenhäufungsmenge} einer abzählbaren Menge \( \{ u_n \}\) die Menge aller Summenhäufungspunkte der durch Umordnung der Folge \(u_n\) entstehenden Folgen, so gilt der Satz: Die Summenhäufungsmenge einer abzählbaren Teilmenge einer \textit{Abel}schen topologischen Gruppe \(G\) ist entweder leer oder Nebengruppe einer Untergruppe von \(G\). (IV 8, V 2.)