L'additivité métrique vectorielle des ensebles et les discontinuités tangentielles sur les courbes rectifiables. (Q2624577)

Es sei \(C\) eine rektifizierbare Kurve der Länge \(L\). Das Maß einer auf \(C\) gelegenen Punktmenge \(M\) wird entsprechend dem Maß einer gewöhnlichen linearen Menge definiert. Ist \(M\) offen, d. h. eine Summe von höchstens abzählbar vielen, getrennten, offenen Stücken von \(C\), so wird das Maß von \(M\) gleich der Summe der Längen dieser Stücke gesetzt; ist \(M\) eine auf \(C\) abgeschlossene Menge, die durch Herausnahme von abzählbar vielen offenen Kurvenbögen aus \(C\) entstanden ist, so bekommt \(M\) als Maß die Differenz von \(L\) und der Gesamtlänge dieser Kurvenbögen. Für eine beliebige Menge \(M\) auf \(C\) wird als äußeres Maß die untere Grenze der Maße der auf \(C\) gelegenen offenen Mengen definiert, die \(M\) enthalten; als inneres Maß die obere Grenze der Maße der in \(M\) enthaltenen abgeschlossenen Mengen. Die auf \(C\) gelegene Menge heißt meßbar, wenn ihr inneres und äußeres Maß übereinstimmen. Das Maß einer Punktmenge \(M\) auf \(C\) ist ein Sonderfall des von \textit{ {Carathédory}} eingeführten linearen Maßes von Punktmengen und unabhängig von der die Menge \(M\) enthaltenden Kurve \(C\). Man kann den Maßen ein Vorzeichen beilegen, indem man auf \(C\) einen Anfangspunkt \(A\) festegt und dem Maße einer zwischen \(A\) und einem Punkt \(P\) gelegenen Punktmenge dasselbe Vorzeichen beilegt wie dem Stück \(AP\) der Kurve \(C\). Wenn \(C\) in eine Folge von meßbaren Mengen \(M_1, M_2, \dots \) zerlegt wird und \(s, s_1, s_2, \dots \) die Maße der zwischen \(A\) und \(P\) gelegenen Stücke von \(C, M_1, M_2, \dots \) sind, ist \(s_n\) der Bogen \(AP_n\) einer gewissen von \(A\) ausgehenden Kurve \(C_n\) derart, daß nicht nur die skalare Gleichung \(s = \sum s_n\), sondern auch die vektorielle Gleichung \(\vec {AP} = \sum \vec {AP}_n\) besteht; wenn \(P\) auf \(M_n\) liegt, ist, abgesehen von einer Nullmenge auf \(C\), die Tangente in \(P\) auf \(C\) parallel zur Tangente in \(P_n\) auf \(C_n\). Wird das Intervall 0, \(L\) in ebenso viel (auf 0, L überall dichte) Mengen \(M_n\) zerlegt, wie die Dimensionszahl des betrachteten Raumes beträgt, und wird \(x, y, \dots \) gleich \(s_1, s_2, \dots \) gesetzt, so hat die vom Punkt \(P (x, y, \dots )\) beschriebene Kurve als Bogenlänge die Summe der Koordinaten von \(P\). und die Tangente ist in einer Punktmenge, die das gleiche Maß wie \(C\) hat, ständig der einen oder andern der Koordinatenachsen parallel. Für den Fall, daß\(x, y, \dots \) als Funktionen beschränkter Schwankung eines Parameters ausgedrückt sind, werden weitere Aussagen gemacht. Die tangentialen Unstetigkeiten werden näher untersucht und durch Beispiele belegt.