Sur un mode de croissance régulière. Théorèmes fondamentaux. (Q2624592)

Die für \(x>0\) eindeutig definierte Funktion \(q(x)\) heißt von regulärem Wachstum, wenn \(q(x)\) positiv und \(\lim _{x \to \infty } \frac {q(tx)}{q(x)} = h (t)\) für jedes \(t > 0\) vorhanden ist. (Das Folgende gilt nur dann, wenn zusätzlich vorausgesetzt wird, daß \(q(x)\) für genügend große \(x\) im kleinen gleichmäßig nach oben und nach unten positiv beschränkt ist. Ref.) Es gilt entweder \(h(t) = t^{a_0}\) mit \(a_0 = \lim _{x \to \infty } \frac {\log q(x)}{\log x}\), oder \(h(t)= 0, 1, \infty \), je nachdem \(t < 1, = 1, >1\) ist. Liegt nicht der eben erwähnte Grenzfall vor, und ist \(q(x)\) integrierbar, so kann man schreiben: \[ q(x) = x^{a_0} c(x) \exp \int \limits _1^x \frac {\varphi (t)}{t} dt \] mit \(c(x) \to c_0 > 0\) und \(\varphi (x) \to 0\) für \(x \to \infty \). Hieraus folgt für integrierbare Funktionen regulären Wachstums die neue Kennzeichnung: Es gibt eine Zahl \(k(= -a_0)\), so daß der Ausdruck \[ \int \limits _0^1 t^k \frac {q(tx)}{q(x)} dt \] für \(x \to \infty \) einem positiven endlichen Wert zustrebt.