Sur le théorème intégral de Cauchy. (Q2624637)

Verf. beweist eine Verallgemeinerung des bekannten Theorems von \textit{Cauchy} über die Bedingungen, daß ein Ausdruck \(p(x, y) dx+q(x, y) dy\) in einem gegebenen Bereich das totale Differential einer Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen darstellt. \(p(x, y)\) und \(q(x, y)\) seien zwei im Rechteck \(R\) stetige FUnktionen, deren partielle Ableitungen \(\frac {\partial p}{\partial y}\) und \(\frac {\partial q}{\partial x}\) in Innern von \(R\) existieren und endlich sind. Die Beziehung \(\frac {\partial p}{\partial y}=\frac {\partial q}{\partial x}\) sei fast überall in \(R\) erfüllt. Dann stellt \(p(x, y) dx+q(x, y) dy\) das totale Differential einer im Rechteck \(R\) definierten Funktion dar. \textit{Looman} (1923; F. d. M. 49, 709 (JFM 49.0709.*)-710) hat schon versucht, den Beweis für diese Verallgemeinerung zu führen. Der Beweisgang von \textit{Looman} enthält aber, wie \textit{v. Ridder} (1929; JFM 55.0761.*-762) nachgewiesen hat, eine Lücke. Verf. knüpft in seinem Beweisgang an \textit{Looman} an und benutzt auch einen in der Arbeit von \textit{Looman} bawiesenen Hilfssatz.