Iterative algebraische Algorithmen. (Q2624655)

Sind \(a_0, b_0\) belliebige komplexe Zahlen und bildet man mit homogenen Funktionen \(f, g\) das Rechenschema \[ a_{n+1}=f(a_n, b_n), \quad b_{n+1}=g(a_n, b_n), \] so sind die Algorithmen interessant, bei denen \(M(a, b)=\lim a_n =\lim b_n\) existiert. Verf. untershucht im Anschluß an die Arbeiten des Ref. (1933; JFM 59.0231.*) eine Reihe solcher Algorithmen, die durch iterative Anwendung des arithmetischen, geometrischen und harmonischen Mittels gewonnen werden, insbesondere ihren Konvergenzbereich in der \(\frac {b}{a} =z\)-Ebene und die Uniformisierung der mehrdeutigen Algorithmen. Das Schema \[ a_{n+1}=\frac 12 (a_n+b_n), \quad b_{n+1}=\frac 12 (a_{n+1}+b_n) \] führt zur Grenze \(M(a, b)=\frac 1{3} a+\frac 2{3} b\), die Konvergenz ist in der ganzen \(z\)-Ebene durch das Einschachtelungsverfahren leicht zu beweisen; die Ersetzung der arithmetischen durch die geometrischen Mittel führt zu \(a^{1/3} b^{2/3}\), die Uniformisierung erfolgt durch die Logarithmen. Das Schema \[ a_{n+1}=\frac 12 (a_n+b_n), \quad b_{n+1}=\sqrt {a_{n+1} b_n} \] führt bekanntlich zu einer unendlichvieldeutigen, mit dem arccos zusammenhängenden Grenzfunktion; seine Uniformaisierung, die in allen Einzelheiten verfolgt wird, gelingt durch den Ansatz: \(a_0 : b_0=\)ctg \(w: \) cosec \(w\). Schon von \textit{Gauß} in Angriff genommen wurde der Algorithmus \[ a_{n+1}=\frac 12 (a_n+b_n), \quad b_{n+1}=\frac {2a_{n+1} b_n}{a_{n+1}+b_n}, \] der in der ganzen \(z\)-Ebene mit Ausnahme der Stellen \(z=\frac 1{1-2^{2n-2}}\) konvergiert und zu einer eindeutigen transzendenten Grenzfunktion führt, deren Eigenschaften, Produktdarstellung und Reihenentwicklungen angegeben werden. Verf. untersucht ferner Algorithmen, die von einem Parameter abhängen, und beantwortet alle Fragen, die \textit{Wintner} (On a generalization of the Lagrange-Gauß algorithm, Amer. J. 54 (1932)m 346-352; F. d. M. 58) bezüglich eines solchen Algorithmus gestellt hat. Der Algorithmus \[ a_{n+1}=\frac {a_n+b_np}{1+p}, \quad b_{n+1}= \frac {a_nb_n(1+p)}{a_np+b_n} \] fügt sich der allgemeinen Theorie ein und führt für \(p \neq 0, \pm 1\) zu einer transzendenten Grenzfunnktion, für \(p=1\) aber auf \(\sqrt {a_0b_0}\). (IV 2.)