Sur le produit \(\Gamma \left ( \frac {S}2 \right ) \sum \frac {\alpha _n}{n^s}\). (Q2624658)

Ist \(\varphi (u)\) eine ganze und gerade Funktion und \(|\varphi (u)|<e^{2\vartheta \pi |u|} (0<\vartheta <1)\), hat ferner \(\sum \varphi (n) : n^s\) eine absolute Konvergenzgerade, so gilt \[ \Gamma \left ( \frac {S}2 \right ). \sum \varphi (n) : n^s=F(s) +\frac {\sqrt \pi }2 \int \limits _0^\infty \Theta (t) e^{-\frac {(s-1)t}2} dt. \] Dabei ist \(F(s)\) ganz und \(\Theta \) mit Hilfe der Koeffizienten der Potenzreihe von \(\varphi \) ausdrückbar. Für \(\varphi \equiv 1\) ergibt sich eine klassische Formel, deren Herleitung auch Vorbild bei Gewinnung obiger Verallgemeinerung gewesen ist.