Sur les domaines de détermination infinie des fonctions entières. (Q2624671)

Unter einem ``domaine de détermintion infinie'' \(\Delta \) einer ganzen Funktion \(f(z)\) ist ein durch \(|f(z)|>m_1\) definiertes Gebiet zu verstehen, wo \(m_1\) eine beliebige positive Konstante bedeutet; das ist also ein sich ins Unendliche erstreckendes Gebiet, in dem es Zielwege mit dem Zielwert \(\infty \) gibt. Aus der Beschränktheit von \(f(z)\) zwischen solchen Gebieten schließt man, daß die Anzahl der verschiedenen asymptotischen Werte \(\infty \) ebenso wie die der endlichen asymptotischen Werte höchstens \(2\varrho \) ist, wenn \(\varrho \) die Ordnung von \(f(z)\) ist (vgl. \textit{Bieberbach}, Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. 2, 2. Aufl. (1931; JFM 57.0340.*), 287-288). In der vorliegenden Arbeit gibt Verf. genauere Untersuchungen der Gebiete \(\Delta \). Sie beruhen auf einer Abschätzung einer Funktion \(f(z)\), die regulär ist in einem Gebiet \(G\), das begrenzt wird von zwei konzentrischen Kreisbogen mit den Radien \(r_1\) und \(r_2 (r_1<r_2)\), zwei dieselben in dem zwischenliegenden Ring verbindenden \textit{Jordan}bogen und eventuell einigen Bogen, die je zwei Punkte desselben Kreisbogens im Innern des Ringes verbinden. \(|f(z)|\) besitze auf \(|z|=r_2\) die Schranke \(m_2\), auf dem übrigen Rande von \(G\) die Schranke \(m_1 (m_1<m_2)\). Durch eine konforme Abbildung wird das Problem zurückgeführt auf ein von \textit{Carleman} und \textit{Julia} behandeltes (vgl. \textit{Julia}, 1931; JFM 57.0349.*); diese Zurückführung gelingt auf Grund der ersten Hauptungleichung von \textit{Ahlfors} (Diss. 1930; JFM 56.0984.*). Man erhält so die folgende Ungleichung: \[ \int \limits _r^{t_2} \frac {dt}{t\theta (t)}<0(1)+\frac 1{\pi } \log \frac {\log m_2-\log m_1}{\log |f(re^{i\vartheta })|-\log m_1}. \] Hier bedeutet \(t\theta (t)\) die Gesamtlänge der von \(G\) auf \(|z| =t\) ausgeschnittenen Bogen. - Der Bewweis dieser Ungleichung läßt sich übrigens etwas vereinfachen, wenn man nicht genau dem \textit{Ahlfors}schen Beweisgang folgt (vgl. \textit{Dinghas}, 1934; JFM 60.0261.*-262; \textit{Macintyre}, 1935; JFM 61.0337.*). Diese Ungleichung wird nun auf die den Gebieten \(\Delta \) ``assoziierten Gebiete'' angewendet, d. s. diejenigen Gebiete, die aus den \(\Delta \) durch Tilgung von ganz im Endlichen liegenden Randkomponenten hervorgehen. Man denkt sich dabei \(r\) und \(r_1\) fest und läßt \(r_2 \to \infty \) streben. Es ist ohne weiteres ersichtlich, daß \(\theta (t)\) so nach unten eingeschränkt wird, wenn das Wachstum von \(f(z)\) in gewisser Weise eingeschränkt ist. Z. B. ist der \(\lim \sup \theta (t) \geqq \frac {\pi }{\varrho }\), wenn \(\varrho \geqq \frac 12\) ist; das Gleichheitszeichen wird dabei nur bei gewissen Funktionen regulären Wachstums im Sinne \textit{Borels} erreicht. Man erhält so auch die obengenannte Schranke für die Anzahl der Gebiete \(\Delta \); diese Schranke gilt auch noch, wenn an Stelle der zwischen den \(\Delta \) liegenden Gebiete; in denen \(f(z)\) beschränkt ist, solche Gebiete treten, in denen \(f(z)\) nicht rarscher als ein Polynom wächst. Auch für ganze Funktionen von unendlicher Ordnung ergeben sich Aussagen, von denen nur die erwähnt sei, die eine obere Schranke für die Anzahl \(n(r)\) der Gebiete \(\Delta \) feststellt, die einen Kreis \(|z|=r\) treffen: \[ n(r)<\frac {2\log _2 M(R, f)}{\log R} \left ( 1+\varepsilon \left (\frac {r}{R}\right ) \right ) \] \[ \left (R>r, M(R, f)=\max _{|z|=R} |f(x)|, \varepsilon \left ( \frac {r}{R} \right ) \to 0 \quad {\text{mit}} \quad \frac {r}{R} \to 0 \right ). \] Die Ungleichung umfaßt offenbar den Fall endlicher Ordnung, da ja dann die rechte Seite mit \(R \to \infty \) gegen \(\varrho \) geht. Das letzte Kapitel handelt von den Funktionen, deren Ordnung kleiner als \(\frac 12\) ist. Ohne Zuhilfenahme der Ungleichung (*), aber auf Grund desselben Gedankenganges, der nur den \textit{Ahlfor}schen Hilfssatz entbehren kann, ergibt sich eine Verschärfung des \textit{Wiman}schen Satzes sowie eines \textit{Valiron}schen Ergebnisses über die Gebiete in denen eine solche Funktion beschränkt ist (\textit{Valiron}, 1923; F. d. M. 49, 222 (JFM 49.0222.*)).