Über einige für die Theorie der Druckverbreiterung von Spektrallinien wichtige Integrale. (Q2624716)

Die beiden Integrale \[ \begin{aligned} I_1 &=\int \limits _{0}^{\infty }\frac {dx}{x^{1+q_1}} \left \{ (1+e^{-ix})+\frac {2}{ix}(e^{-ix}-1)\right \} =\frac {i}{q_1}\frac {1-q_1}{1+q_1}\varPhi (q_1), \\ I_2 &=\int \limits _{0}^{\infty }\frac {dx}{x^{1+q_2}} \{ 1-e^{-ix}\} =\frac {i}{q_2}\varPhi (q_2) \end{aligned} \] mit \[ \varPhi (q)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-ix}x^{-q}dx= \lim \limits _{\varepsilon \to 0}\lim \limits _{a\to \infty } \int \limits _{\varepsilon }^{a} e^{-ix}x^{-q}dx \] lassen sich mit Hilfe der \(\varGamma \)-Funktion folgendermaßen ausdrücken: \[ \begin{aligned} I_1 &=\frac {\pi }{\sin (\pi q_1)}\frac {1-q_1}{1+q_1} \frac {e^{i\tfrac {\pi }{2}q_1}}{\varGamma (1+q_1)}, \\ I_2 &=\frac {\pi }{\sin (\pi q_2)} \frac {e^{i\tfrac {\pi }{2}q_2}}{\varGamma (1+q_2)}. \end{aligned} \]