Die Nullstellen der Laguerreschen und Hermiteschen Polynome. (Q2624723)

Es handelt sich zunächst um die (verallgemeinerten) \textit{Laguerre}schen Polynome \[ L_n(x, \alpha )=(-1)^ne^xx^{-\alpha }\frac {d^n(e^{-x}x^{n+\alpha })}{dx^n} \qquad (n=1, 2, \dots ; \alpha \quad \text{reell}). \] Für den Fall \(\alpha >-1\), wo man weiß, daß\ alle Nullstellen reell und positiv sind, wird darüber hinaus gezeigt, daß\ die Vereinigungsmenge aller (für \(n=1, 2, \dots \)) hervorgehenden Nullstellen auf der reellen positiven Achse überall dicht ist; der Beweis wird gleich allgemeiner für die mit einer beliebigen positiven, integrierbaren Belegungsfunktion \(p(x)\) gebildeten Orthogonalpolynome eines Intervalls \((r, s)\) geführt, wobei nur bei ein- bzw. beiderseitig unendlichem Intervall für die absolut größte Nullstelle \(x_n\) zu fordern ist: \(x_n=o(n^2)\) bezw. \(o(n)\). -Für \(\alpha \leqq -1\) sind stets \(n-[-\alpha ]\) Nullstellen positiv, höchstens eine negativ, die übrigen dann Null oder komplex. Es folgen Abschätzungen der absolut größten Nullstelle - insbesondere ist in der Tat hier \(x_n=o(n^2)\), wie oben benützt! -, ferner genauere für die größte positive und die kleinste positive - für diese gilt z. B. \[ \frac {\alpha +1}{n}\leqq \vartheta _n\leqq \frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{n+\alpha +1} \qquad (\alpha >-1) \] - und Angaben über die Verteilung der positiven Nullstellen überhaupt. Bei der nun folgenden Untersuchung der \textit{Hermite}schen Polynome \[ H_n(x)=(-1)^ne^{\tfrac {x^2}{2}}\frac {d^ne^{-\tfrac {x^2}{2}}}{dx^n} \] können wegen der Beziehungen \[ \begin{aligned} H_{2n}(x) &=2^nL_n\left ( \frac {x^2}{2}, -\frac {1}{2}\right ), \\ H_{2n+1}(x) &=2^nxL_n\left ( \frac {x^2}{2}, +\frac {1}{2}\right ), \end{aligned} \] (die an Stelle der Gleichungen (39) des Textes treten müssen), die bisherigen Ergebnisse mit verwendet werden. Hier ergibt sich insbesondere für die kleinste Entfernung zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen \(d_n\) die Eingrenzung \[ \frac {\sqrt {2}}{\sqrt {n}}<d_n\leqq \frac {4}{\sqrt {n}}. \] Methodisch ist zu bemerken, daß\ alle Betrachtungen im Reellen und elementar verlaufen (Wurzelverteilung numerischer Gleichungen, \textit{Strum}sche Methoden, Integralabschätzungen); viel Kleinarbeit ist erforderlich; asymptotische Entwicklungen werden nicht benützt.