Über Sätze von Stone und Bochner. (Q2624791)

Der Satz von \textit{S. Bochner} (Vorlesungen über die Fourierschen Integrale (Leipzig 1932; F. d. M. 58), S. 74-76) über die Darstellbarkeit einer positiv definiten stetigen Funktion \(p(t)\) durch ein \textit{Fourier-Stieltjes}sches Integral wird dahin verallgemeinert, daß\ die Stetigkeit von \(p(t)\) durch die schwächere Voraussetzung der Meßbarkeit ersetzt werden kann. Bei dieser Verallgemeinerung nimmt man allerdings den Schönheitsfehler in Kauf, daß\ die fragliche Integraldarstellung dann nur fast überall gilt. Bei der nachfolgenden Anwendung des so erweiterten \textit{Bochner}schen Satzes auf den Beweis der von \textit{J. v. Neumann} (Über einen Satz von Herrn M. H. Stone, Annals of Math. (2) 33 (1932), 567-573; F. d. M. 58) gegebenen Verschärfung des Satzes von \textit{M. H. Stone}, wonach sich jede meßbare lineare Schar unitärer Operatoren \(U(t)\) mittels einer gemeinsamen Zerlegung der Einheit \(E(\lambda )\) in der Spektralform \[ U(t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{it\lambda }dE(\lambda ) \] darstellen läßt, wird der genannte Schönheitsfehler durch die Gruppeneigenschaft \(U(t_1)U(t_2)=U(t_1+t_2)\) ausgemerzt.