La geometria degli olospazii e i suoi legami colle equazioni differenziali ordinarie. (Q2624792)

Der erste Teil der Abhandlung behandelt den Raum \((F)\) der im Einheitskreis \(C\) holomorphen und auf seiner Begrenzung stetigen Funktionen. An Stelle des \textit{Fréchet}schen Entfernungsmaßes empfiehlt sich die Einführung eines neuen; setzt man \(f(z)=P_f+iQ_f\) und bedenkt, daß\ die Angabe von \(P_f\) auf \(C\) und \(Q_f\) im Nullpunkt \(f(z)\) festlegt, so wird als Entfernung von \(f, g\) angenommen: \[ (f, g)=\left [ \int \limits _{0}^{2\pi }\{ P_f(\theta )-P_q(\theta )\} ^2d\theta + \begin{cases} & \{ Q_{0f}-Q_{0g}\} ^2\\ \text{oder} \quad & \int \limits _{0}^{2\pi }\{ Q_f(\theta )-Q_g(\theta )\} ^2 d\theta \end{cases} \right ] ^{1/2}. \] Bildet man diese Integrale auf einer Folge gegen \(C\) strebender konzentrischer Kreise, so strebt \((f, f_n)\) dann und nur dann gegen die Grenze \(C\) hin gegen Null, wenn \(f_n(z)\) gleichmäßig in jedem innern Bereiche gegen \(f(z)\) strebt; die Klasse der betrachteten Funktionen ist also eine normale Klasse im \textit{Fréchet}schen Sinne. Zugleich ergibt sich die sinngemäße Limesdefinition in \((F)\) und eine Reihe von Struktureigenschaften von \((F)\); \((F)\) ist im \textit{Banach}schen Sinne ein linearer metrischer Raum oder läßt sich als Raum mit unendlichvielen Koordinaten auffassen, die dem doppeltgezählten Intervall \((0, 2\pi )\), über dem \(P_f(\theta ), Q_f(\theta )\) aufzutragen sind, entsprechen. Verf. nennt einen solchen Raum einen Vollraum (olospazio). Man wird daher in \((F)\) als con des Winkels der Vektoren von 0 nach \(f\) und \(g\) den Ausdruck \[ \int \limits _{0}^{2\pi }(P_f(\theta )P_g(\theta ){+} Q_f(\theta )Q_g(\theta ))d\theta : \sqrt {\int \limits _{0}^{2\pi }(P_f(\theta )^2{+} Q_f(\theta )^2)d\theta \cdot \int \limits _{0}^{2\pi }(P_g(\theta )^2 +Q_g(\theta )^2)d\theta } \] einführen. Hängen \(P_f(\theta )\) und \(Q_{0f}\) von einem reellen Parameter \(t\) ab, so beschreibt \(f(z)\) in \((F)\) eine Linie; soll diese geodätische Linie (Gerade) sein, so sind \(P, Q\) ganze lineare Funktionen der Bogenlänge \(t\). Damit kann nun die geodätische Tangente und Krümmung, Parallelismus usw. in \((F)\) eingeführt werden; die Ebene besteht aus den zwei inzidierende Geraden treffenden Geraden, usw. Verf. leitet alle Formeln und Sätze dieser Metrik ausführlich her. Betrachtet man in einem Vollraum eine geodätische Linie, bei der die unendlichvielen Koordinaten eines laufenden Punktes duech \(x(\theta )\) bezeichnet werden, so ist für sie das Bestehen einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung in \(x(\theta )\) kennzeichnend, die man durch Elimination von \(t\) gewinnt. Überhaupt entspricht nach diesem Verfahren jeder Linie von \((F)\) eine Differentialgleichung erster Ordnung und jeder Fläche eine solche zweiter Ordnung, die dann und nur dann linear ist, wenn es sich um eine Ebene handelt. Diesen Zusammenhang zwischen Differentialgleichungen und räumlichen Gebilden in \((F)\) untersucht der zweite Teil der Arbeit; er führt zu einer Fülle formal wichtiger Resultate, die im wesentlichen darauf ausgehen, die Struktur- und Schnitteigenschaften der Gebilde in Sätze über Integrale bzw. gemeinsame Integrale der entsprechenden Differentialgleichungen umzusetzen. Ist z. B. \(V_r\) ein linearer Vollraum, der durch \(r+1\) Punkte festgelegt ist, und \(V_k(k\leqq r)\) in ihm gelegen, so entspricht \(V_k\) eine lineare Differentialgleichung \(k\)-ter Ordnung, deren jedes Partikulärintegral auch ein solches der zu \(V_r\) gehörenden linearen Differentialgleichung \(r\)-ter Ordnung ist. Alle formalen Sätze über lineare Differentialgleichungen sind sofort zu entnehmen. Einer algebraischen Differentialgleichung erster Ordnung entspricht eine algebraische Kurve in \((F)\), so daß\ auch hieraus neue Sätze entspringen. Da ein Gebilde von \((F)\) entweder in einem linearen \(V_r\) mit endlichem \(r\) liegt oder nicht, unterscheidet man pseudolineare und transzendente Differentialgleichungen; die Integration der ersteren kann auf die einer linearen Differentialgleichung genügend hoher Ordnung reduziert werden; Verf. gibt für die pseudolinearen Gleichungen erster Ordnung ein kennzeichnendes Kriterium an. (IV 9, V 6 C. )