A proof of a theorem of Watson. (Q2624799)

Die Hinlänglichkeit der Bedingung in dem oben referierten Satz von \textit{Watson} (1933; F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 1079-1080) wird dadurch kürzer bewiesen, daß\ zunächst für solche \(f(x)\), die eine stetige Ableitung besitzen und für große und kleine Werte von \(x\) verschwinden, die Transformierte durch \[ g(x)=-\frac {1}{x}\int \limits _{0}^{\infty }\chi (x, y)f'(y)dy \] definiert und die \textit{Parseval}sche Gleichung \[ \int \limits _{0}^{\infty }g^2(x)dx=\int \limits _{0}^{\infty }f^2(y)dy \] abgeleitet wird. Hieraus ergibt sich dann die allgemeine Aussage durch Approximation eines beliebigen \(f(x)\) aus \(L^2(0, \infty )\) durch Funktionen \(f(x)\) der obigen Beschaffenheit.