A note on Riccati's equation. (Q2624838)

Ein Satz von \textit{F. Iversen}, wonach die asymptotischen Werte, denen eine transzendente meromorphe Funktion bei geeigneter Annäherung an den Punkt \(\infty \) zustrebt, den transzendenten Singularitäten ihrer Umkehrungsfunktion entsprechen, wird auf einem von \textit{P. Painlevé} für die Untersuchung der Singularitäten der Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen vorgezeichneten Weg auf die Integrale \(y(x)\) der \textit{Riccati}schen Differentialgelichung \[ y'=\frac {P_0(x)+P_1(x)y+P_2(x)y^2}{Q(x)} \tag{*} \] angewendet, worin die \(P_i(x)\) und \(Q(x)\) Polynome in \(x\) vom Grad \(p_i\) bzw. \(q\) sind. Es ergibt sich: Transzendente meromorphe Integrale gibt es nur, wenn \(q-2<\text{Max}(p_1, p_2, p_3)\); die asymptotischen Werte, denen sie möglicherweise zustreben, wenn \(x\) geeignet gegen \(\infty \) strebt, sind die (endlichen oder unendlichen) Wurzeln der quadratischen Gleichung \[ a_0\varepsilon _0+a_1\varepsilon _1\eta +a_2\varepsilon _2\eta ^2=0, \] worin \(a_i\) der Koeffizient der höchsten Potenz von \(x\) in \(P_i(x)\) und \[ \begin{aligned} \varepsilon _0=\varepsilon _1=1, \varepsilon _2=0, \quad &\text{falls} \quad p_0=p_1>p_2, \\ \varepsilon _0=\varepsilon _2=0, \varepsilon _1=1, \quad &\text{falls} \quad p_1>\text{Max}(p_0, p_2), \\ \varepsilon _0=\varepsilon _2=1, \varepsilon _1=0, \quad &\text{falls} \quad p_0=p_2>p_1, \\ \varepsilon _0=\varepsilon _1=\varepsilon _2=1, \qquad &\text{falls} \quad p_0=p_1=p_2, \\ \varepsilon _0=0, \varepsilon _1=\varepsilon _2=1, \quad &\text{falls} \quad p_1=p_2>p_0, \\ \varepsilon _0=\varepsilon _1=0, \varepsilon _2=1, \quad &\text{falls} \quad p_2>\text{Max}(p_0, p_1). \end{aligned} \] Ergänzt wird dieses Ergebnis durch folgende Feststellung: Wenn die Gleichung (*) ein rationales Integral hat, so besitzt jede transzendente meromorphe Lösung mindestens einen(endlichen oder unendlichen) asymptotischen Wert. Die Frage, wann die Gleichung (*) ein rationales Integral hat, wird noch etwas weiter verfolgt; dazu wird (*) mittels einer rationalen Transformation, die rationale Integrale \(y\) in rationale Integrale \(Y\) überführt, auf die Form \[ Y'=Y^2+R(x) \] gebracht, worin \(R(x)\) eine rationale Funktion bedeutet, und unter der Voraussetzung, daß\ \(R(x)\) nur einfache Pole hat und \(R(\infty )\) endlich ist, eine Bedingung dafür hergeleitet, daß\ \(Y\) rationale ist. (Daß\ jede transzendente meromotphe Lösung von (*) wenigstens einen asymptotischen Wert hat, wurde vom Verf. als Vermutung ausgesprochen und, wie eine während der Drucklegung angeführte Bemerkung aussagt, vom \textit{M. Fukuhara} bestätigt). Zum Schluß\ wird bewiesen: Defekt und Verzweigungsindex des Wertes \(\infty \) (in der Terminologie von \textit{R. Nevanlinna}, vgl. F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 773-775) sind bei jeder transzendenten meromorphen Lösung von (*) gleich Null, falls \(P_2\not \equiv 0\) und falls (*) nicht eine partikuläre Lösung \(y=\text{const}\) besitzt. Insbesondere kann eine \textit{Riccati}sche Gleichung nur dann ein ganzes transzendentes Integral haben, wenn sie entweder in eine lineare Gleichung entartet oder ein konstentes Integral besitzt.