Infinite systems of ordinary differential equations with applications to certain second-order partial differential equations. (Q2624899)

Vorgelegt ist die partielle Differentialgleichung \[ P(u)\equiv u_{tt}-u_{yy}-F(u_y, u_t, u, y, t)=0 \tag{1} \] mit den Anfangsbedingungen \[ u(0, t)=u(\pi, t)=0, \quad u(y, 0)=f(y), \quad u_t(y, 0)=g(y), \] wobei \(f(y)\) und \(g(y)\) durch trigonometrische Reihen gegeben sind. Mit dem \textit{Fourier}schen Ansatz \(u=\sum \limits _{k=1}^{\infty }x_k(t)\sin ky\) läßt sich (1) auf ein unendliches System (2) von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung für die \(x_k(t)\) zurückführen, welches in einer äquivalenten Integralform mit der Methode der sukzessiven Approximationen behandelt wird. Während \textit{Lichtenstein} (1927; F. d. M. 53, 479 (JFM 53.0479.*)) nach diesem Plan Gleichungen der Form (1) mit speziellen Funktionen \(F\) behandelt hat, läßt Verf. Funktionen \(F\) sehr allgemeiner Natur zu (im wesentlichen muß\ \(F\) einer \textit{Lipschitz}-Bedingung in den ersten drei Argumenten genügen); dafür sind aber die erhaltenen Funktionen \(u\) nicht Lösungen im üblichen, sondern in einem gewissen verallgemeinerten Sinn. Die Definition defür ist folgende: \(u(y, t)\) sei definiert und stetig in dem Rechteck \(0\leqq y\leqq \pi \), \(0\leqq t\leqq K\) und besitze daselbst fast überall erste partielle Ableitungen. Dann heißt \(u\) eine Lösung von (1) im verallgemeinerten Sinn, wenn es eine Folge von Funktionen \(u_n(y, t)\) gibt, jede von der Klasse \(C''\) in diesem Rechteck, derart, daß\ folgende Bedingungen erfüllt sind: \[ \begin{aligned} &\lim \limits _{n\to \infty }u_n=u(y, t) \quad \text{gleichmäßig in}\quad y \quad \text{und} \quad t; \\ &\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{0}^{\pi } \left ( \frac {\partial u}{\partial y}-\frac {\partial u_n}{\partial y} \right ) ^2dy=0 \quad \text{gleichmäßig in}\quad t; \\ &\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{0}^{\pi } \left ( \frac {\partial u}{\partial t}-\frac {\partial u_n}{\partial t} \right ) ^2dy=0 \quad \text{gleichmäßig in}\quad t; \\ &\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{0}^{K}\int \limits _{0}^{\pi } \left ( P(u_n)\right ) ^2dydt=0. \end{aligned} \] Schließlich wird eine analoge Methode auf die parabolische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung \(u_t=u_{yy}-F(u_y, u, y, t)\) angewendet, wobei es sich um Lösungen im gewöhnlichen Sinne handelt. (IV 14. )