Propriétés d'une équation linéaire aux dérivées partielles du quatrième ordre. (Q2624907)

Verf. beginnt mit einem Überblick über die Aufgaben, welche bei partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung gelöst werden können. Die Existenz der Lösung wird, falls alle Daten analytisch sind, durch den Existenzsatz von \textit{Cauchy-S. Kovalewski} gesichert; man kann dabei die Werte des Integrals und die Stellung seiner Tangentialebene längs einer Kurve \(\mathfrak C\) vorschreiben. Sobald man auf Analytizität verzichtet, werden die Verhältnisse anders und verschieden, je nachdem die Gleichung vom elliptischen oder hyperbolischen Typus ist; den parabolischen Fall zieht Verf. als Grenzfall nicht in Betracht. So genügt es im elliptischen Fall, auf einer geschlossenen Kurve \(\mathfrak C\) die Werte des Integrals \(u\) allein oder die Werte der Normalableitung \(u_n'\) allein oder die Werte einer linearen Kombination \(\alpha u+\beta u_n'\) allein vorzuschreiben, um \(u\) im Innern der Kurve festzulegen (\textit{Dirichlet}sche, \textit{Neumann}sche, gemischte Randwertaufgabe). Bei einer hyperbolischen Differentialgleichung kann man \(u\) und \(u_k'\) vorschreiben, falls die Kurve \(\mathfrak C\) jede Charakteristik nur einmal schneidet; andererseits ist \(u\) schon eindeutig festgelegt durch die Werte, die \(u\) auf zwei zu eineander senkrechten Charakteristiken annehmen soll. Man kann also nicht auf dem ganzen Rand eines Rechtecks, dessen Seiten auf Charakteristiken liegen, \(u\) beliebig vorschreiben. Die hierher gehörigen Lösungsmethoden sind schon früher auf partielle Differentialgleichungen von höherer als der zweiten Ordnung übertragen worden, nämlich auf die total-elliptischen Gleichungen, bei denen alle Charakteristiken imaginär sind, und auf die total-hyperbolischen Gleichungen, bei denen alle Charakteristisken reell sind. Zur erstgenannten Gattung gehört z. B. die biharmonische Gleichung \(\varDelta \varDelta u=0\), bei der man etwa \(u\) und \(u_n'\) längs einer geschlossenen Kurve vorschreiben kann, um \(u\) eindeutig festzulegen. Verf. betrachtet nun solche lineare partielle Differentialgleichungen dritter und vierter Ordnung, bei denen reelle und imaginäre Charakteristiken nebeneinander vorkommen, die er deswegen zusammengesetzter Typ nennt, und fragt, wie sich hier die von den elliptischen und hyperbolischen Gleichungen zweiter Ordnung her bekannten Eigenschaften mischen. Die Frage, was hier ein ``korrekt gestelltes Problem'' d. h. eine lösbare und eindeutig lösbare Aufgabe ist, wird an einfachen Beispielen ihrer Klärung nähergebracht; die teilweise skizzenhaften Darlegungen bedürfen noch genauerer Ausführung. I. Als Vertreter der Gleichungen dritter Ordnung wird die Gleichung \[ \frac {\partial }{\partial x}\varDelta u= \varDelta \frac {\partial u}{\partial x}=0 \quad \left ( \varDelta =\frac {\partial ^2}{\partial x^2} +\frac {\partial ^2}{\partial y^2}\right ) \tag{1} \] betrachtet. Hier würde eine \textit{Cauchy}sche Anfangswertaufgabe z. B. darin bestehen, daß\ man längs \(x=0\) die Werte von \(u, u_x', u_{xx}''\) beliebig vorschreibt; sie ist nicht lösbar, falls die Daten nicht analytisch sind. Dagegen sind folgende Randwertaufgaben lösbar: 1). \(\mathfrak C\) besteht aus der auf der \(y\)-Achse gelegenen Strecke \(AB\) und einem die Punkte \(A\) und \(B\) verbindenden Bogen \(\mathfrak B\), der jede Parallele zur \(x\)-Achse nur einmal trifft. Auf der Strecke \(AB\) seien \(u\) und \(u_{xx}''\), auf \(\mathfrak B\) die Werte von \(u\) allein vorgeschrieben. - 2) \(\mathfrak C\) besteht aus einer Strecke \(CD\) auf der \(x\)-Achse und einem \(C\) und \(D\) verbindenden Bogen \(\mathfrak B\), der jede Parallele zur \(x\)-Achse, die er überhaupt trifft, höchstens zweimal schneidet, sich also aus einem fallenden und einem steigenden Teilbogen zusammensetzt; vorgeschrieben werden \(u\) auf \(CD\) und etwa auf dem fallenden Teilbogen, \(u_x'\) auf \(\mathfrak B\). Dabei müssen sich diese Werte von \(u_x\) in dem Punkten \(C\) und \(D\) den Werten anschließen, die man durch Differentiation der auf \(CD\) vorgeschiebenen Werte von \(u\) nach \(x\) erhält. Zur Gewinnung von \(u\) ist u. a. jeweils die Lösung einer \textit{Dirichlet}schen Randwertaufgabe für eine Gleichung \(\varDelta v=g(x, y)\), bzw. \(\varDelta v=0\) erforderlich. II. Als Vertreter der Gleichungen vierter Ordnung wird die Gleichung \[ \frac {\partial ^4u}{\partial x^4}-\frac {\partial ^4u}{\partial y^4} \mathfrak H \varDelta u=\varDelta \mathfrak H u=0 \tag{2} \] betrachtet, wo \[ \varDelta =\frac {\partial ^2}{\partial x^2}+\frac {\partial ^2}{\partial y^2}, \quad \mathfrak H =\frac {\partial ^2}{\partial x^2}-\frac {\partial ^2}{\partial y^2}; \] sei geht bei Transformation auf die reeellen Charakteristiken \(\xi =x+y\), \(\eta =y-x\) über in \[ \frac {\partial ^2}{\partial \xi \partial \eta }\varDelta u= \varDelta \frac {\partial ^2u}{\partial \xi \partial \eta }=0. \tag{3} \] Ihr allgemeines Integral läßt sich in der Form \[ u=v+\omega \tag{4} \] schreiben, wo \(\varDelta v=0\) und \(\omega =\varPhi (x+y)+\varPsi (y-x)\) eine Lösung von \(\mathfrak H\omega =0\) ist. Das \textit{Cauchy}sche Anfangswertproblem ist hier nicht durchweg lösbar; es müßte sich sonst z. B. eine Lösung von (2) finden lassen, für welche auf der \(y\)-Achse \(u, u_x', u_{xx}'', u_{xxx}'''\) willkürlich als Funktionen von \(y\) vorgeschrieben sind; es wäre dann \(\mathfrak H u=V\) nach (2) eine in einer vollen Umgebung der \(y\)-Achse harmonische Funktion, für welche \(V\) und \(V_x'\) auf der \(y\)-Achse vorgegeben sind; eine solche harmonische Funktion gibt es im Allgemeinen nicht. Verf. bespricht jetzt eine Reihe von Randwertaufgaben: 1) \(\mathfrak C\) sei ein Rechteck, dessen Seiten der \(\xi \)- und der \(\eta \)-Achse parallel sind. Auf \(\mathfrak C\) sei die Normalableitung \(u_n'\), auf zwei aneinanderstoßenden Seiten außerdem \(u\) selbst vorgeschrieben. Diese Werte müssen in den Eckpunkten des Rechtecks wiederum aufeinander abgestimmt sein. Verf. gibt an, wie man eine Lösung von (2) finden kann, die diese Randwerte hat; es gibt nur eine. - Während also im total-elliptischen Fall der biharmonischen Gleichung \(\varDelta \varDelta u=0\) längs der ganzen Kurve \(\mathfrak C\) \(u\) und \(u_n'\) vorgeschrieben werden können, reicht hier bei einer Gleichung vom zusammengesetzten typus schon ein Teil dieser Daten zur eindeutigen Bestimmung der Lösung. 2) \(\mathfrak C\) sei der Kreis \(\xi ^2+\eta ^2=1\). Kann man auf \(\mathfrak C\) wie beim biharmonischen Problem \[ u(\cos \omega, \sin \omega )=g(\omega )= \sum \limits _p[a_p\cos (p\omega )+b_p\sin (p\omega )] \tag{6} \] und \(u_n'=h(\omega )\) willkürlich vorschrieben? Verf. findet durch eine besondere Betrachtung, daß\ dies nicht möglich ist. Es müsen vielmehr die \textit{Fourier}koeffizienten \(a_p, b_p\) so gewählt werden, daß\ die Summe der Werte von \[ \cos \omega \sin \omega \sum p[a_p\cos (p\omega )+b_p\sin (p\omega )] -h(\omega )\cos \omega \sin \omega \] in den vier Ecken jedes dem Kreis einbeschriebenen Rechtecks gleich Null ist. Ist \(\tilde v\) die Potentialfunktion, die auf \(\mathfrak C\) die Werte \(g(\omega )\) annimmt, und wird \(H(\omega )=h(\omega )-\tilde {v_n}'\) gesetzt, so läßt sich diese Bedingung auch dahin aussprechen, daß\ \(H(\omega )\) die Funktionalgleichung \[ H(\omega )+H(\pi +\omega )=H(-\omega )+H(\pi -\omega ) \] befriedigen muß. - Ob die hier gefundenen notwendigen Bedingungen für die Randwerte von \(u\) und \(u_n'\) auch hinreichend sind, um die Lösung der Randwertaufgabe sicherzustellen, untersucht Verf. nicht weiter, er erwähnt lediglich einen Satz über durch eine Funktionalbeziehung verknüpfte Potentialfunktionen, auf dessen Beweis es bei einer solchen Untersuchung ankommt. 3) \(\mathfrak C\) sei zusammengesetzt aus zwei zueinander senkrechten Strecken \(OA\) und \(OB\) auf Charakteristiken \(\xi =\xi _0\) bzw. \(\eta =\eta _0\) und einem deren freie Endpunkte \(A\) und \(B\) verbindenden Bogen, der jede reelle Charakteristik höchstens einmal trifft. Schreibt man die Werte von \(u\) auf der ganzen Kurve \(\mathfrak C\), diejenigen von \(u_{\eta \eta }''\) auf \(OA\) und diejenigen von \(u_{\xi \xi }''\) auf \(OB\) vor, so ist dadurch \(u\) eindeutig festgelegt. \(\varDelta u\) erhält man durch Integration einer hyperbolischen Gleichung zweiter Ordnung, wobei die Werte ihrer Lösung auf zwei zueinander senkrechten Charakteristicken vorgegeben sind, \(u\) selbst dann durch Lösung einer \textit{Dirichlet}schen Randwertaufgabe. 4) \(\mathfrak C\) bestehe aus einem rechtwinkligen Dreieck, dessen Hypotenuse \(AB\) auf der \(y\)-Achse, dessen Katheten auf reellen Charakteristiken liegen. Diese beiden Katheten können auch durch einen Bogen \(B\) ersetzt werden, der \(A\) und \(B\) innerhalb des Dreiecks verbindet und bei dessen Durchaufung sich \(\xi \) und \(\eta \) monoton ändern. Vorgeschrieben werden \(u\) auf \(\mathfrak C\), außerdem \(u_x'\) und \(u_{xx}''\) auf \(AB\). Verf. skizziert, wie hier der Eindeutigkeitsbeweis versucht werden könnte, und deutet den Weg an, auf welchem in diesem Fall die Funktionen \(v\) und \(\omega \) in (4) gewonnen werden können; er führt nach geeigneter Reduktion des Problems auf eine Integralgleichung zweiter Art zur Bestimmung von \(\varphi (y)=\varPhi '(y)\), die zu einer von \textit{Carleman} untersuchten Form gehört. 5) Für die von \textit{Forsyth} hervorgehobene Tatsache, daß\ es im Allgemeinen unmöglich ist, \(u\) so zu bestimmen, daß\ \(u\) und \(u_{xx}''\) auf der ganzen \(y\)-Achse, \(u\) und \(u_{yy}''\) auf der ganzen \(x\)-Achse vorgeschriebene Werte annehmen, wird ein im Reellen verlaufender Beweis gegeben, der ein Ergebnis von \textit{Mason} (1908; F. d. M. 39, 427 (JFM 39.0427.*)) benützt. -Anders wird es, wenn die genannten Randbedingungen nur etwa für die positiven Halbachsen gestellt werden; dann hat das Problem eine Lösung, ist ``korrekt gestellt''. (IV 13, 14. )