Über das Dirichletsche Problem im Großen für nichtlineare elliptische Differentialgleichungen. (Q2624923)

Verf. verallgemeinert den \textit{S. Bernstein}schen Satz (1910; F. d. M. 41, 427 (JFM 41.0427.*)-428), daß\ das \textit{Dirichlet}sche Problem für die nichtlineare elliptische Differentialgleichung \[ A(x, y, p, q)r+2B(x, y, p, q)s+C(x, y, p, q)t=0 \] im Kreisgebiet immer lösbar ist, wenn die Koeffizienten \(A, B, C\) analitisch sind, zu folgenden Theorem: Falls im voraus bekannt ist, daß\ die inhomogene Differentialgleichung vom elliptischen Typus \[ A(x, y, p, q)r+2B(x, y, p, q)s+C(x, y, p, q)t=\psi (x, y) \] bei beliebigem \(\psi (x, y)\) und beliebigen Randwerten \(\varphi (s)\) höchtens eine Lösung zuläst, dann besitzt die entsprechende homogene Differentialgleichung \[ A(x, y, p, q)r+2B(x, y, p, q)s+C(x, y, p, q)t=0 \] für beliebiges (genügend reguläres) \(\varphi (s)\) immer eine Lösung. Die von \textit{Bernstein} benutzte Methode der Normalreihen wird dabei ersetzt durch die der \textit{Hölder}bedingungen, während die \textit{Bernstein}sche Methode der Hilfsfunktionen, die zur ``a-priori''-Abschätzung der höheren Ableitungen der Lösung dient, falls eine solche bereits für die ersten Ableitungen vorliegt, beibehalten wird. Benutzt wird bei der Ableitung des Beweises ein Satz aus einer früheren Arbeit des Verf. (Über den Zusammenhang zwischen der Eindeutigkeit und Lösbarkeit partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus, Math. Ann. 106 (1932), 661-721; F. d. M. 58) und ein wichtiger Satz über lineare elliptische Differentialgleichungen, dessen Beweis Verf. in einer späteren Arbeit (1933, 1934; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 476; \(60_{\text{I}}\), 422) erbracht hat.