Asymptotische Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung. (Q2624976)

Verf. ist bestrebt, die Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die bisher in ihrer Beweisführung und der Auffassung der Voraussetzungen gesondert nebeneinander standen, im einer einheitlichen Theorie zusammenzufassen. Dabei wird bewußt auf einige schöne Ergebnisse der letzten Zeit verzichtet, deren Herleitung sich nicht in die einheitliche Beweisführung einordnen läßt, sondern anderweitige Hilfsmittel (z. B. Funktionentheorie) erfordert. Zuerst wird der \textit{Laplace-Ljapounoff}sche Grenzwertsatz bewiesen: \[ F_1(x), F_2(x), \dots, F_n(x) \] seien beliebige, voneinander unabhängige Einzelverteilungen der Variablen \(x_1, x_2\), \(\dots, x_n\). Die Erwartungswerte derselben seien alle 0, ferner seien die Variablen selbst so normiert, daß\ die Summe ihrer Streuungen \(b_k\) gleich 1 ist. Mit \(U_k(x)\) sei die Wahrscheinlichkeit dafür, daß\^^M\(x_1+x_2+\cdots +x_k\leqq x\) ist, bezeichnet, und es sei ferner \[ \varPhi (x)=\frac {1}{\sqrt {2\pi }}\int \limits ^xe^{-\tfrac 12u^2}du. \] Zu jedem \(\varepsilon >0\) gibt es dann zwei positive Zahlen \(\tau \) und \(\lambda \) von der Beschaffenheit, daß\ jedesmal, wenn die Bedingungen \[ \int \limits _{| x| >\tau }x^2dF_k(x)<\lambda b_k \qquad (k=1, 2, \dots, n) \] erfüllt sind, für alle \(x\) \[ | U_n(x)-\varPhi (x)| <2\varepsilon \] ist. Die hier vorliegende Vorausetzung, die in dieser Form im wesentlichen von \textit{J. W. Lindberg} stammt, bedeutet sachlich, daß\ die Beiträge der Einzelwerte \(x_k\) im Verhält\-nis zur Gesamtsumme klein sein müssen. Die auf \textit{J. Patrowsky} und \textit{A. Kolmogoroff} zurückgehende Beweisidee benutzt die Rekursionsformel \[ U_k(x)=\int U_{k-1}(x-\xi )dF_k(\xi ) \] und zerlegt die Abschätzung des Absolutbetrages \(| U_n(x)-\varPhi (x)| \) in zwei einseitige Abschätzungen, indem eine ``obere'' und eine ``untere'' Funktion eingeführt wird. Wichtig für die Verallgemeinerungen des Satzes ist die Tatsache, daß\ \(\varPhi \left ( \dfrac {x}{\sqrt z}\right ) \) als spezielle Lösung einer einfachen partiellen Differentialgleichung (Wärmegleichung) erscheint. Zunächst wird dieser Satz auf zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen ausgedehnt, wobei zwischen den Variablen \(x_k\) und \(y_k\) Abhängigkeit bestehen kann, die in der Grenzverteilung (zweidimensionales \textit{Gauß}gesetz) nurmehr im quadratischen Korrelationskoeffizienten zum Ausdruck kommt. Eine andere tiefergehende Verallgemeinerung erfolgt dadurch, daß\ der Änderungsprozeß, der bis jetzt im Hinzukommen einer weiteren Variablen \(x_k\) bestand, als kontinuierlicher Vorgang (kontinuerlicher stochastischer Prozeß) aufgefaßt wird. Auch hier tritt als Resultat die \textit{Gauß}verteilung auf. Liegt nicht völlige Unabhängigkeit zwischen den einzelnen Variablen vor, sondern wird die Verteilung der \(k\)-ten Variablen erst durch die Summe der \(k-1\) vorgehenden Variablen festgelegt, so haben wir das erste Diffusionsproblem. Dieses, ebenso das sogenannte zweite Diffuzionsproblem, ferner das einseitige Irrfahrtsproblem und schließlich eine weitere Verallgemeinerung des \textit{Laplace - Ljapounoff}schen Satzes, die eine Aussage über den gesamten Verlauf des in diesem Satz enthaltenen Summationsprozesses gestattet, alle diese Probleme werden mit den gleichen Mitteln, wie sie beim ersten Satz Anwendung fanden, behandelt. Immer sind die Ergebnisse durch spezielle Randbedingungen ausgesonderte Lösungen von gewissen partiellen Differentialgleichungen. Neben diesem Problemkreis wird der \textit{Poisson}sche Grenzwertsatz in etwas allgemei\-nerer Form als üblich hergeleitet. Im letzten Kapitel findet sich eine genaue Darstellung des vom Verf. 1923 gefundenen Satzes vom iterierten Logarithmus, der sowohl für Summen von zufälligen Verän\-derlichen, als auch für den stetigen stochastischen Prozeß\ bewiesen wird. Besprechung: W. Lorey; Allgemeines Statistisches Archiv 23 (1933), 462-463.