On the problem of the most efficient tests of statistical hypotheses. (Q2625012)

In einer Serie von \(n\) Versuchen nimmt das beobachtete Merkmal die Werte \(x_1, x_2, \dots, x_n\) an. Man kann diese Größen als die \(n\) Koordinaten eines Punktes im \(n\)-dimensionalen Raum Auffassen. Zwei hypothetischen Verteilungsgesetzen \(H_0\) und \(H_1\) entsprechen zwei Dichteverteilungen von Punkten \(P_0\) und \(P_1\) im \(n\)-dimensionalen Raum. Für die Entscheidung zwischen den Hypothesen \(H_0\) und \(H_1\) stellen die Verf. folgendes Prinzip der ``besten kritischen Region'' auf: Sie wählen \(n\)-dimensionale Bereiche \(w\) aus, für die die Gesamtdichte nach der Hypothese \(H_0\) je den gleichen festen Wert \(P_0(w)=\varepsilon \) hat. Unter diesen Gebieten \(w\) suchen sie dasjenige \(w^{*}\) heraus, für das die Dichte nach der Hypothese \(H_1\) ein Maximum \(P_1(w^{*})\) wird. Sie nennen es die beste kritische Region von \(H_0\) in bezug auf \(H_1\). In diesem Bezirk besteht nämlich die geringste Möglichkeit, für die Hypothese \(H_0\) einzutreten, falls die Hypothese \(H_1\) die richtige wäre. Im allgemeinen ist der Bereich \(w^{*}\) von dem Wert von \(\varepsilon \) abhängig. Die Durchführung des Prinzips erfordert die Lösung einer Aufgabe der Variationstheorie, die den Verf. im Falle ``einfacher'' Hypothesen allgemein gelingt. Bei ``zusammengesetzten'' Hypothesen ist ihnen die Lösung nur in speziellen, aber wichtigen Fällen möglich. Die Anwendungen, die breit durchgeführt werden, sind sehr bemerkenswert. Neben neuen Ergebnissen finden verschiedene Einzelresultate, die von einer Reihe von Autoren durch meist mühsame Sonderuntersuchungen erhalten wurden, jetzt ihre gemeinsame Erklärung durch das Prinzip der besten kritischen Region. Das Prinzip wurzelt in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es ist beachtlich, daß\ gerade Vertreter der englischen Schule, die lange die rein beschrei\-bende Statistik besonders pflegten, jetzt auf dem sicheren Grunde der Wahrscheinlichkeitslehre zu neuen wesentlichen Ergebnissen gekommen sind.