Ein neuer Beweis für die Reziprozitätsformel der Gaussschen Summen in beliebigen algebraischen Zahlkörpern (Q2644904)

Unter den bekannten Methoden für die genaue Bestimmung des Wertes der (quadratischen) Gaußschen Summen zum rationales Zahlkörper zeichnen sich die Kroneckersche Methode (besonders in der Mordellschen Fassung) und die Methode der Fourierreihen durch Einfachheit and Eleganz aus. Ihr Kern ist folgendes: Für die Summe \[ G(u, v; R) = \sum_{x\bmod R} e^{2\pi i(ux^2+vx)}, \] wo \(u\neq 0\), \(v\) rationale Zahlen sind und \(R\) eine natürliche Zahl, für die \(2Ru\), \(R^2u\), \(Rv\) ganz sind, gilt die Reziprozitätsformel \[ G(u, v; R) = \frac{e^{\frac{\pi i}{4}\text{sgn}\;u}}{| \sqrt{2u}|}\sum_{y\bmod 2Ru} e^{-\frac {2\pi i}{4}\frac{(y+v)^2}{u}}\,. \] Verf. beweist die folgende naturgemäße Verallgemeinerung dieser Formel auf \(n\)-gliedrige Summen: Es sei \(\mathfrak U\) eine rationalzahlige symmetrische \(n\)-reihig-quadratische reguläre Matrix, \(\mathfrak v\) eine rationalzahlige \(n\)-gliedrige Spalte und \(R\) eine natürliche Zahl derart, daß \(R\mathfrak U\), \(R\mathfrak v\) ganzzahlig sind. Dann wird die \(n\)-gliedrige Summe \[ G(\mathfrak U, \mathfrak v; R)= \sum_{\mathfrak x\bmod R} e^{2\pi i(\mathfrak x'\mathfrak U\mathfrak x+\mathfrak x'\mathfrak v)} \] betrachtet. Setzt man dann zudem voraus, daß die Hauptunterdeterminanten \(D_j\) \((j = 1, \dots, n)\) aus den \(j\) ersten Zeilen und Spalten von \(\mathfrak U\) sämtlich von Null verschieden sind, ferner daß die Ausdrücke \(R\frac{\Delta_jw}{D_j}\) \((j= 1,\dots, n-1)\) sämtlich ganz sind, wenn man für \(\Delta_j\) irgendeine \(j\)-reihige Unterdeterminante von \(\mathfrak U\) und für \(w\) irgendein Glied aus \(\mathfrak U\) oder \(\mathfrak v\) oder die Zahl 1 setzt, so gilt die Reziprozitätsformel \[ G(\mathfrak U, \mathfrak v; R) = \frac{e^{\frac{\pi i}{4}\text{sgn}\;\mathfrak U}}{| \sqrt{2^n|\mathfrak U|}|} \sum_{_{\substack{ y_j\bmod 2R\frac{D_j}{D_{j-1}} \\ (j=1,\dots,n)}}} e^{-\frac{2\pi i}{4} (\mathfrak y+\mathfrak v)'\mathfrak U^{-1}(\mathfrak y+\mathfrak v)}\,, \] wo \(\mathfrak y=(y_j)\), \(D_0 = 1\) gesetzt ist and \(\text{sgn}\,\mathfrak U =\sum_{j=1}^n \text{sgn}\,\frac{D_j}{D_{j-1}}\) die Signatur der quadratischen Form \(\mathfrak x'\mathfrak U\mathfrak x\) bezeichnet. Als Anwendung folgert Verf. die von \textit{E. Hecke} [Gött. Nachr. 1919, 265--278 (1919; JFM 47.0145.01); Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Zahien. Leipzig: Akad. Verlagsges. (1923; JFM 49.0106.10), S. 218 ff.] mittels der Transformationstheorie der mehrfachen Thetafunktionen bewiesene Reziprozitätsformel für (quadratische) Gaußsche Summen zu einem algebraischen Zahlkörper \(K\) vom Grade \(n\). Diese Formel erscheint hier leicht verallgemeinert in der folgenden Form: Für die Summe \[ C(\omega,\eta) = \sum_{\rho\bmod\fark m} e^{2\pi i\text{Sp}(\rho^2\omega+\rho\eta)}, \] wo \(\omega\neq 0\), \(\eta\) Zahlen aus \(K\) sind and \(\mathfrak m\) der kleinste gemeinsame Idealnenner von \(\omega\mathfrak d\), \(\eta\mathfrak d\) ist \((\mathfrak d\) die Differente von \(K)\), gilt die Reziprozitätsformel \[ \frac{C(\omega,\eta)}{N(\mathfrak m)} = e^{\frac{\pi i}{4}\text{sgn}\,\mathfrak A'\Omega\mathfrak A} |\sqrt{N(2\omega\mathfrak d)} | e^{2\pi i\text{Sp}(-\frac{\eta^2}{4\omega})} \frac{C\left(\frac{-\gamma^2}{4\omega},-\frac{\eta\gamma}{2\omega}\right)}{N(\mathfrak m_1)}\,. \] Dabei ist \(\mathfrak A=(\alpha_k^{(j)})\) die Konjugiertenmatrix zu irgendeinem System von \(n\) linear unabhängigen Elementen \(\alpha_k\) aus \(K\), \(\Omega = (\omega^{(j)} e_k^{(j)})\) die Diagonalmatrix aus den Konjugierten zu \(\omega\), \(\mathfrak m_1\) der kleinste gemeinsame Idealnenner von \(\frac 1{4\omega\mathfrak d}, \frac{\eta}{2\omega}\) und \(\gamma\neq 0\) irgendeine solche Zahl aus \(K\), daß \(\mathfrak d\gamma\) ganz und prim zu \(\mathfrak m_1\) ist. \{Anm.: Diese Arbeit wurde von der Philosophischen Fakultät der Schlesischen Friedrich-Wilhelms-Universität zu Breslau als Dissertation angenommen.\}