Class fields of infinite degree over \(p\)-adic number fields (Q2645617)

Sei \(k\) ein beliebiger diskret bewerteter perfekter Körper mit endlichem Bestklassenkörper. Es wird eine Klassenkörpertheorie für die abelschen algebraischen Erweiterungen \(L\) von unendlichem Grade über \(k\) entwickelt. Die Automorphismengruppe \(\mathfrak G\) von \(L/k\) ist nach \textit{W. Krull} [Math. Ann. 100, 687--698 (1928; JFM 54.0157.02)] eine unendliche abelsche Gruppe, die bei einer Topologie im Sinne der Approximationen \(L = \displaystyle \lim_{i\to \infty} K_i\) aus Teilkörpern \(K_i/k\) von endlichem Grade abgeschlossen ist. Die Normgruppen \(H(K_i)\) bilden dabei eine absteigende Folge in der Multiplikationsgruppe \(k^*\) von \(k\), deren Durchschnitt \(\mathfrak N= \displaystyle \lim_{i\to \infty} H(K_i)\) sei. Bildet man die abgeschlossene Hülle \(\mathfrak k\) von \(k^*/\mathfrak N\) im Sinne einer durch die Bewertung von \(k\) gelieferten Topologie, so stellt sich als erster Hauptsatz die Isomorphie von \(\mathfrak k\) mit \(\mathfrak G\) heraus. Die abgeschlossenen Untergruppen von \(\mathfrak k\) entsprechen umkehrbar eindeutig den Teilkörpern von \(L/k\). Der zweite Hauptsatz stellt die Existenz einer abelschen unendlichen Erweiterung \(L/k\) zu gegebener abgeschlossener Gruppe \(\mathfrak k\) fest, wobei \(\mathfrak k\) auf Gruppen zu beschränken ist, die sich durch einen gewissen Grenzprozeß ergeben.