Commutative algebras which are polynomial algebras (Q2646186)

Der Verf. betrachtet über einem separabeln Körper \(F\) eine assoziative und kommutative Algebra \(A\), also einen kommutativen Oberring von \(F\), der nur endlich viele über \(F\) linear unabhängige Elemente enthält. \(A\) heißt \glqq polynomial algebra\grqq{}, wenn sich alle Elemente aus \(A\) als Polynome in einem festen Element \(z\) mit Koeffizienten aus \(F\) darstellen lassen, d. h., anders ausgedrückt, wenn \(A\) über \(F\) ein \glqq primitives Element\grqq{} \(z\) besitzt. Für die Existenz eines derartigen primitiven Elements werden, zum Teil mit Hilfe der Theorie der Diskriminantenmatrix, mehrere nicht allzu tiefliegende, notwendige und hinreichende Bedingungen hergeleitet. Besondere Aufmerksamkeit wird dabei dem Fall gewidmet, daß \(F\) nur aus endlich vielen Elementen besteht. Zum Schluß wird durch einige Gegenbeispiele gezeigt, daß die von vornherein vorausgesetzte Separabilität von \(F\) für die Ergebnisse wesentlich war.