Prüfer ideals in commutative rings (Q2646187)

Die Arbeit befaßt sich mit einer Verallgemeinerung der bahnbrechenden Prüferschen Arbeit \glqq Untersuchungen über die Teilbarkeitseigenschaften in Körpern\grqq{} [\textit{H. Prüfer}, J. Reine Angew. Math. 168, 1--36 (1932; Zbl 0004.34001)]. Prüfer geht von einem Integritätsbereich \(\mathfrak g\) mit dem Quotientenkörper \(\mathfrak K\) aus und definiert den Begriff des \glqq ganzen Elements\grqq{} und des \glqq Ideals\grqq{} in \(\mathfrak K\) mit Hilfe von \(\mathfrak g\). Verf. betrachtet drei Integritätsbereiche \(\mathfrak R\), \(\mathfrak g\), \(\mathfrak o\), wobei \(\mathfrak g\) in \(\mathfrak R\), \(\mathfrak o\) in \(\mathfrak g\) enthalten ist. Der Quotientenkörper \(\mathfrak K\) von \(\mathfrak R\) tritt nicht in Erscheinung, die Untersuchung bleibt auf die Elemente von \(\mathfrak R\) selbst beschränkt. Der Ganzheitsbegriff wird mit Hilfe von \(\mathfrak g\), der Idealbegriff mit Hilfe von \(\mathfrak o\) festgelegt. Die Dribinsche Arbeit schließt sich eng an das maßgebende Prüfersche Vorbild an. Doch hat der Ref. den Eindruck, daß der Verf. stellenweise die eigentliche Bedeutung der richtungweisenden Gedanken Prüfers nicht voll erfaßt hat. Das scheint vor allem in der letzten Nummer der Arbeit der Fall zu sein, wo an Stelle der schönen Prüferschen Funktionalringkonstruktion eine äußerlich ähnliche und formell sogar wesentlich einfachere Konstruktion angegeben wird, die aber schon in ganz einfachen Fällen, z. B. bei den Hauptordnungen der endlichen algebraischen Zahlkörper, praktisch kaum brauchbar sein dürfte.