On the factorization of generalized quaternions (Q2646188)

Es werden folgende verallgemeinerte Quaternionen betrachtet: \(t = t_0 + i_1t_1 + i_2t_2 + i_3t_3\), wo die \(t_i\) die Zahlen eines imaginär quadratischen Körpers \(K\) durchlaufen und die \(i_\alpha\) der folgenden Multiplikationstabelle genügen: \[ i_\alpha^2 = -A_{\alpha\alpha},\quad i_2i_3 = - A_{23} + a_{11}i_1 + a_{12}i_2 + a_{13}i_3, \quad i_3i_2 = -A_{32} - a_{11}i_1 - a_{12}i_2 - a_{13}i_3 \] \((i_1i_3,\ldots\) analog). Dabei ist \(a = (a_{\alpha\beta})\) eine symmetrische Matrix über \(K\) von der Ordnung 3 und \(A_{\alpha\beta}\) das algebraische Komplement von \((a_{\alpha\beta}\). Ein Quaternion heißt ganzzahlig, wenn \(K\) der Bereich der ganzen Zahlen ist. Es sei \(Q = t_0^2 + \sum A_{\alpha\beta} t_\alpha t_\beta\). Es wird nach der Anzahl der Rechtsteiler von ganzzahligen Quaternionen gefragt. Dabei zeigt es sich, daß diese Anzahl mit der Anzahl der Darstellungen der Zahl 1 durch eine gewisse Form aus dem Geschlecht von \(Q\) übereinstimmt. Besonders scharfe Ergebnisse erhält man, wenn das Geschlecht nur eine Klasse enthält.