Anwendung des Perronschen Beweises eines Satzes von Minkowski (Q2646190)

Es wird folgender Satz bewiesen: Genügen zwei reelle Zahlen \(\theta\) und \(\vartheta\) für jeden Gitterpunkt \((x, y)\neq (0, 0)\) den Bedingungen \(\theta x - y\neq 0\), \(y\neq \vartheta\), \(\theta x - y -\vartheta\neq 0\), so gibt es unendlich viele Gitterpunkte \((x, y)\) mit \(x\neq 0\), so daß \[ | x(\theta x-y-\vartheta)|<\tfrac 14.\tag{1} \] Mit Hilfe der Beweismethode von \textit{O. Perron} [Math. Ann. 115, 656--657 (1938; Zbl 0019.00701)] wird gezeigt, daß es Gitterpunkte \((x_n, y_n)\) gibt, die (1) und die Ungleichung \(| q_n (\theta x_n - y_n - \vartheta)|\leq 1\) befriedigen. Dabei sei \(p_n/q_n\) ein Näherungsbruch von \(\theta\). Aus der letzteren Ungleichung folgt sofort, daß es unendlich viele verschiedene unter diesen Gitterpunkten gibt. [Also reviewed in JFM 65.0173.01.]